线性微分方程组的般理论

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1、内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作5.2 线性微分方程组的一般理论讨论线性微分方程组的一般理论，主要研究它的解的结构。如果 ，则（5.14）称为非齐线性的。如果 ，则（5.14）称为齐线性的，即称：为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线性方程组。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作5.2.1 齐线性微分方程组主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。前提：A(t)在区间 上是连续的。1、定理2（叠加原理）如果 和 是（5.15）的解，则它们的线性组合 也是（ 5.15 ）的解，这里 是任意常数。（5.15）的所有解构成一个线性空间，那么这个

2、空间的维数 是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关（无关） 性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。一、基本定理分析：内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作2、向量函数的相关性考虑定义在区间 上的向量函 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则 就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式由定义在区间 上的n个向量函数 所 作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即其中，内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的

3、 理论得证。分析：4、定理3 若向量函数 在区间 上线性相关，则在 上它们的伏朗斯基(Wronsky)行列式为零，即有：内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作6、定理5 齐线性方程组（5.15）一定存在n个线性无关的解。分析：反证方法。分析：构造方法。5、定理4 如果方程(5.15)的解 在区间 上线性无关，则 在 内的任何点上都不等于零，即有： 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作推论1：方程（5.15）的线性无关解的最大个数等于 因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空间定义：方程（5.15）的一组 个线性无关解称为方程 的一个基本解组，显然，基本解组不唯一7、定理6（

4、通解结构定理） 如果 是方程（5.15）的 个线性无关的解， 则方程（5.15）的任一解均可表为：其中 是相应的确定常数。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作推论2：如果已知（5.15）的k个线性无关解，则（5.15）可以降低为含n-k个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已知（5.15）的n1个线性无关解，则（5.15）的通解即可得到。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作( ( 阶线性微分方程通解的结构定理阶线性微分方程通解的结构定理) )推论3：如果 是 阶微分方程的n个线性无关解，其中 是区间 上的连续函数，则（5.21）的任一解均可表示为其中 是任意常数。内江师范学院

5、数学与信息科学学院 吴开腾 制作二、基本概念1 1、解矩阵、解矩阵2 2、基解矩阵、基解矩阵如果一个 矩阵的每一列在区间 上都是线性无关 的解矩阵称为在区间 上（5.15）的基解矩阵。如果一个 矩阵的每一列都是（5.15）的解，则称这个矩阵 为（5.15）的解矩阵。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作3、定理（通解的结构定理通解的结构定理）为了寻求齐线性微分方程组（5.15）的任一解，需 要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩 阵是基解矩阵？这里 是确定的 维常数列向量C定理1* (5.15)一定存在一个基解矩阵 ， 如果 是的任一解，那么内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制

6、作注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例如：定理2* （5.15）的一个解矩阵 是基解矩阵的充要条件是 而且，如果对于某一个 ，则（ 表示矩阵 的行列式）无穷与有无穷与有 限的转换限的转换 ！线性无关组不一线性无关组不一 定能构成解！定能构成解！内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作例1 验证是方程组的基解矩阵。其中2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。解（步骤）：解（步骤）：1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作推论1* 如果是（5.15）在区间 上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那么, 也是在

7、区间 上的一个基解矩阵这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的验证方法证明。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作推论2* 如果 ， 在区间 上是 的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异 常数矩阵 ，使得在区间 上，有这说明基解矩阵的相似性构造方法证明：构造常数矩阵C.内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作5.2.2、非齐线性微分方程组目的：利用（5.15)解的结构来讨论（5.14)解的结构.1、非齐线性微分方程组解的性质2、非齐线性微分方程组解的结构 3、应用内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作1、非齐线性微分方程组解的性质性质1 如果 是(5.14)的解， 是对应的齐线性微分

8、方程组(5.15)的解,则 是(5.14)的解 .性质2 如果 , 是（5.14）的解，则 是（5.15）的解 .基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作2、非齐线性微分方程组解的结构定理7 设 是（5.15）的基解矩阵， 是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表示为这里 是确定的常数列向量.基本思想：代入式验证？利用性质2。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数

9、变易方法求（5.14)的一个解。注 释内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作定理 设 是（5.15）的基解矩阵， 则向量函数是（5.14）的解，且满足初始条件： . 分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初 始条件的解 可由下面公式给出(5.15)满足初始条件 的解公式（5.26）或(5.27)称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易法常数变易法。内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作例2：试求初值问题的解。解：1、因为是对应齐线性方程组的基解矩阵；内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作2、由定理8，求满足初始条件 的解内江师范学院数学与信息科学学院 吴

10、开腾 制作3、求题设初始条件 的解（利用解的结构定理）.原方程的解为内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作求非齐次线性微分方程组求解基本步骤：1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；2、求初始条件为0的解；3、再求初始条件的解；理论基础：定理7和定理8（解的结构定理。）注：n阶线性微分方程的求解（推论3）；是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题（没有？）内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作3、应用（n阶非线性微分方程解的结构）(1)、推论3 如果 是区间 上的连续函数， 是区间 上齐线性方程的基本解组，那么，非齐线性方程的满足初始条件的解由下面公式给出内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作其通解为：这里 是任意常数基本方法：常数变易法内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作（2） 特殊情况，n=2时的常数变易方法的公式其通解为：这里 是任意常数内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作例3：试求方程的一个解。解：第一步:求对应齐线性方程的基本解组；第二步:求特解；第三步:求任一解。作业：p216-217 1,3,6,7,8,9,10(1,2)