理论力学10章

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1、第10章 动量定理和动量矩定理 10.1 动量定理 1. 动量：质量与速度的乘积。 质点的动量：mv。 质点系的动量： 动量的质心定理 ：Date1理论力学第10章 动量的质心定理： 2.冲量：作用力与作用时间的乘积。Date2理论力学第10章 3.动量定理 质点的动量定理： 定理：质点的动量对时间的变化率等于作 用在质点上的外力和。Date3理论力学第10章 质点的动量守恒定理：如果作用在质点的 外力和为零，则质点的动量保持不变。 质点的动量定理：质点的动量在某时段的 增量等于作用在质点上的外力对时间的积 分（冲量）。Date4理论力学第10章 质点系的动量定理 质点系的每个质点，除了受到系

2、统外部的 作用力（如重力）外，还受到相邻质点的 作用力。 质点间的作用力属作用力与反作用力，成 双对出现，合力为零。Date5理论力学第10章 由此得到动量定理方程的其他形式： 质点系的动量守恒定理：如果作用在质点系的外 力和为零，则质点系的动量保持不变。 质点系的动量定理：质点系的动量在某时段的增 量等于作用在质点系的外力对时间的积分（冲量 ）。Date6理论力学第10章 4. 质心运动定理 质心：质点系的质量中心，其定义是 对时间求导，得到：Date7理论力学第10章 质心运动定理 质点系的总质量与质心加速度的乘积，等 于作用在质点系的外力和。Date8理论力学第10章 质心动量守恒定理：

3、如果质点系受到的外 力和为零，则质心的动量保持不变。 质心位移定理：如果质点系受到的外力和 为零， 而且初始状态质心的速度为零，则 质心的位置保持不变。Date9理论力学第10章 例10.2 电机的定子质量为m1，转子的质量 为m2，偏心距为e，匀角速度为0， (1)电机固定刚性地面上，求基础约束力。 (2)电机放在刚度为k的弹性基础上，求其铅 直方向的运动微分方程及基础的最大约束 力。Date10理论力学第10章 解：电机固定在刚性地面上。 设转子的转角为=t。Date11理论力学第10章 电机固定在弹性地基上。 弹性地基的作用可用弹簧模型来描述。 设弹簧原长（不受力时的长度）为l 0 ，受

4、 到拉力F后，长度变为l，则有： F=k(l 0 l ) k称为弹簧刚度。Date12理论力学第10章 设弹簧原长l0，电机静止时弹簧长l1，电机 振动时弹簧长l。Date13理论力学第10章 弹簧原长l0，电机静止时弹簧长l1，则：Date14理论力学第10章 y向运动方程：Date15理论力学第10章 令s=l-l1，它表示从静止平衡位置起算的位 移。 齐次解：Date16理论力学第10章 令s=l-l1，它表示从静止平衡位置起算的位 移。则得到振动方程： 齐次解：Date17理论力学第10章 特解：Date18理论力学第10章 求支座反力：Date19理论力学第10章 例10.3 均质曲

5、柄AB，以匀角速度绕A转动 ，质量为m1，长度r。连杆及活塞质量为m2 ，质心为C。活塞上受到恒定力F的作用。 求A处的水平约束力。 解：Date20理论力学第10章Date21理论力学第10章 例10.4 电机的定子和机壳的质量为m1，质 心在转轴O1上。转子的质量为m2，质心的 偏心距为e。电机放在光滑水平面上，初始 时电机静止。不计摩擦力，求转子的转动 角速度为时，电机水平运动的规律。 解：Date22理论力学第10章 设转轴O1的水平坐标为x，则Date23理论力学第10章10.2 动量矩定理 1 质点的动量矩定理 质点，质量为m，速度为v，动量为mv。 质点对点O 的动量矩：过速度v

6、方向和点O 作平面，点O到v方向线的距离为h，则动量 矩MO(mv)的定义为Date24理论力学第10章 动量矩的方向按右手螺旋法确定。Date25理论力学第10章 刚体绕定轴转动时，刚体对 转轴z的动量矩为：Date26理论力学第10章 质点的动量矩定理。 质点的动量对点O的动量矩的时间变化率，等于 作用在质点上的外力对点O的力矩。 Date27理论力学第10章 质点系的动量矩定理。 质点系的动量对点O的动量矩的时间变化率，等 于作用在质点系上的外力对点O的力矩。Date28理论力学第10章 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体各质点的动量对z轴的矩的时间变化率 等于作用在刚体上的外力对z轴的矩。

7、Date29理论力学第10章 动量矩守恒定理：如果刚体受到的外力对 某轴的力矩为零，则刚体对于该转轴的动 量矩保持不变。Date30理论力学第10章 例10.5 复摆的质量为m，对摆轴O的转动惯量为J ，质心C到转轴O距离为a，求微小摆动的周期T。 解：对摆应用动量矩定理Date31理论力学第10章 例10.6 主动轮轴1和从动轮轴2的转动惯量 分别为J1和J2 ，轮1和轮2的半径分别为R1和 R2 ，传动比i 12 = R1/R2 ，在轴1上作用力矩 M1，在轴2上作用力矩M2，不计摩擦，求轴 1的角加速度。 解：设轮1和轮2之间的作用力为F，Date32理论力学第10章Date33理论力学

8、第10章 建立轮1和轮2的动量矩方程：Date34理论力学第10章10-4 刚体的转动惯量 定义：刚体对定轴的转动惯量为 式中，Jz是刚体对z轴的转动惯量，mi是质 点的质量，ri是质点到转轴z的距离。 1.均质细杆对定轴的转动惯量：Date35理论力学第10章 2. 均质薄圆环的转动惯量：Date36理论力学第10章 2. 均质圆板的转动惯量：Date37理论力学第10章 刚体的回转半径z 对于复杂的刚体，常常引入回转半径z的概 念，其定义是： 4. 平行移轴定理： 设C为刚体的质心，O为刚体的任意一点。 则有：Date38理论力学第10章 平行移轴定理的证明： 设z1轴经过质心C，z轴经过

9、点O，且z1轴和z 轴平行。建立图示坐标系。其中，x=x1， y=y1+d。Date39理论力学第10章 平行移轴定理： 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 ，加上刚体的质量与两轴距离平方的乘积 。Date40理论力学第10章 定理：作用在物体上的外力等于物体质心 的加速度与质量的乘积。 定理：作用在物体上的外力对于质心的矩 等于物体质心的转动惯量与角加速度的乘 积。 刚体平面运动的微分方程组：10.3 刚体的平面运动微分方程Date41理论力学第10章 1. 刚体平面运动的动量方程 即：刚体的质量与加速度的乘积，等于作 用在刚体上的外力。Date42理

10、论力学第10章 2. 刚体平面运动的动量矩方程 可以证明这个动量矩方程可以简化为： 即：刚体对于质心的转动惯量与角加速度 的乘积，等于外力对质心的力矩。 Date43理论力学第10章 证明：Date44理论力学第10章 例10.7 半径为r，质量为m 的均质圆轮沿水平地面作 直线运动。轮的回转半径 为C，作用在轮上的力矩 为M。求轮心的加速度。 如果圆轮对于地面的静滑 动摩擦因数为fs，问力矩M 符合什么条件才能使圆轮 不发生滑动？Date45理论力学第10章 解：Date46理论力学第10章 例10.8 均质圆轮，半径为r，质量为m，在 半径为R的圆弧上往复微幅纯滚动。求质心 C的运动方程。

11、 解：质心C的轨迹为圆弧，其半径为R-r。Date47理论力学第10章（质心C的运动方程）Date48理论力学第10章 对于微小滚动，则有：Date49理论力学第10章 振动方程的一般解为： 设t=0时，s=0， 则有， Date50理论力学第10章 例10.9 均质圆轮，质量m，半径r，沿斜面 向下作纯滚动。求质心C的加速度以及斜面 的摩擦力。 解： Date51理论力学第10章 由(1)、(3)、(4)得Date52理论力学第10章10-4 刚体的转动惯量 定义：刚体对定轴的转动惯量为 式中，Jz是刚体对z轴的转动惯量，mi是质 点的质量，ri是质点到转轴z的距离。 1.均质细杆对定轴的转

12、动惯量：Date53理论力学第10章 2. 均质薄圆环的转动惯量：Date54理论力学第10章 2. 均质圆板的转动惯量：Date55理论力学第10章 刚体的回转半径z 对于复杂的刚体，常常引入回转半径z的概 念，其定义是： 4. 平行移轴定理： 设C为刚体的质心，O为刚体的任意一点。 则有：Date56理论力学第10章 平行移轴定理的证明： 设z1轴经过质心C，z轴经过点O，且z1轴和z 轴平行。建立图示坐标系。其中，x=x1， y=y1+d。Date57理论力学第10章 平行移轴定理： 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 ，加上刚体的质量与两轴距离平

13、方的乘积 。Date58理论力学第10章习题（自测题） 10.20 求下列均质物体的转动惯量。 （1）半径为R的均质圆盘，JO=_。 （2）T形结构由均质直杆OC和AB组成，两杆的长度都是l ， 质量都是m， JO=_。 （3）L 形结构由均质直杆OA和AB组成，两杆的长度都是 l， 质量都是m， JO=_。 （4）钟摆简化为均质杆和均质圆盘的组合体。杆长为l， 质量为m。圆盘的质量为4m，半径r=l/4。 JO=_。Date59理论力学第10章 10.21 图示的圆规尺，均质杆AB质量为2m1 ，均质曲柄OD质量为m1，长度OD=AD=DB ，滑块A和B的质量都为m2。系统的总质量 为m=3

14、 m1 +2 m2 ，质心为C（图中未标示） 。曲柄以匀角速度绕O转动，转角= t。 m xC =_， m yC =_， m vCx =_ ， m vCy =_， m v =_。Date60理论力学第10章 10.22 水平面上放置一个质量为mA的均质直 角三棱柱A，在其斜面上又放置一个质量为 mB的直角均质三棱柱B。mA=3 mB 。两个三 棱柱长度分别为a和b。各接触面均为光滑 接触。初始时刻系统静止，且B在A的顶部, 此时系统质心的坐标xc1=_。当B沿斜面 滑下并接触水平面时，系统质心的坐标 xc2=_。A的移动距离x1 x2 =_。Date61理论力学第10章 10.23 质量为m，

15、半径为r的均质圆轮沿着倾 角为的粗糙斜面向下作纯滚动运动。圆轮 中心C的加速度a=_，转动角加速度 =_，摩擦力Fs=_。Date62理论力学第10章 答案： 1.5mR2；17ml2/12; 5ml2/3；5.115ml2， 161ml2/24。 lcos(2.5 m1 +2 m2 ); lsin(2.5 m1 +2 m2 ); - lsin(2.5 m1 +2 m2 ); l cos(2.5 m1 +2 m2 ); l (2.5 m1 +2 m2 )。 3(x1+a/3) /4+ (x1+2b/3)/4; 3(x2+a/3) /4+ (x1+a-b/3)/4; (a-b)/4。 2gsin/3; 2gsin/3r; mgsin/3。Date63理论力学第10章 作业 10.7，10.14， 10.16Date64理论力学第10章