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1、3 古 典 概 型一、模型：设随机试验 E 满足下列条件：1 试验的样本空间只有有限个样本点，即=1 , 2 , . , n2 每一个样本点的发生是等可能的，即P(1 ) = P( 2 ) = . = P( n)则称此试验为古典概型，也称为等可能概型。计算公式由定义知：=P(e1 )+P( e2 )+.+P( en)=nP(ei ) i = 1 ,2, . , n=1 则： P(ei )= i = 1,2, . , n若事件 A 包含 k 个事件，即则有上式即为等可能概型中事件A的概率的计算公式。二、基本原理及排列组合公式原理 则进行 A1 过程后再接着进行 A2 过程共有 n1 n2种方法A
2、1 n1A2n2n1 n21 乘法原理：若进行 A1 过程有 n1 种方法， 进行 A2 过程有 n2 种方法，2 加法原理则假设进行 A1 过程与进行 A2 过程是并行的，则进行过程共有 n1+n2 种方法。A1n1A2n2这两条原理可以拓广到多个过程若进行 A1 过程有 n1 种方法， 进行 A2 有 n2 种方法，排列：从 n 个元素中取出 r 个来进行排列，1 有放回选取： 称为有重复的排列，其总数共有 nr 个2 不放回选取： 称为选排列，其总数共有当 n = r 时，称为全排列且与取出元素及其顺序有关。三种组合：1 从 n 个元素中取出 r 个元素，且不考虑其顺序。 其总数为2若
3、r1 + r2 +.+rk=n,把 n 个不同的元素分成 k 个部分，第一部分r1 个，第二部分 r2 个，.，第 k 部分 rk 个， 则不同的分法有种。这时取法总数为说明：约定 0! = 1三、举例若 n 个元素中有 n1 个带足标“1”，3n2 个带足标“2” ,. ,nk个带足标“k”,且 n1 + n2 + . + nk = n ,从这 n 个元素中取出 r 个，使带有足标“ i ”的元素有ri个（1 i k) ,而 r1 + r2 + . + rk = r，例1：一个袋子，内装 a 只黑球，b 只白球，它们除颜色不同外，外型完全一样（以后若非特别声明，均作此假设）。这样，当我们从袋
4、中任意摸球时，这 a+b 只球中的任意一只被摸到的可能性都一样。这就是古典概型的例子。（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样；（b）第一次取一只球，观察其颜色后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。两种取球方式：例21 取到的两只球都是白球的概率；2 取到的两只球颜色相同的概率；3 取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解：A：取到的两只球都是白球 B：取到的两只球都是红球C：取到的两只球至少有一只是白球P（A）（a）=P(A)+P(B)=0.556 =1-P(B)=0.889（b）P（C）=1- P(B)一口袋装有
5、 6 只球，其中 4 只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑放回抽样和不放回抽样两种取球方式。求：P（A）P（B）P（A）P（B）例3 如果某批产品中有a 件次品，b 件好品，我们采用有放回及不放回抽样方式从中抽 n 件产品，问正好有 k 件是次品的概率。 （a）有放回注：P（A）是二项式展开式的一般项P（A）称为二项分布（b）不放回P（A）称为超几何分布且有教材31页例6例 4 将 n 只球随机地放入 N （ n）个盒子中去，（设盒子的容量不限）, 试求:(1) 某指定的n个盒子各有一只球的概率P1。解：(2) 任意n个盒子各有一只球的概率。这是古典概型的问题, 由于盒子的
6、容量不限, 所以样本空间总数可以按有重复组合计算, 即从N个元素中可重复的去取n个, 共有 Nn 个,(1) 在这种情形下, 相当于n个小球在n个盒子中全排列, 所以有利场合数为n! ,(2) 在这个问题中, 我们先要确定n个小球落入哪n个盒子,说明：（1）排列问题（2）教材28页例4推广: 假设每人的生日在一年 365 天中任一天是等可能的，即都是那么随机选取n ( 365)个人，他们的生日各不相同的概率为（这里 365 天作为盒子数 N ）因而，n 个人中至少有两人生日相同的概率为P = 1- P（A）所以有利场合数是先从N个盒子中挑出n个, 然后让小球全排列, 共有 N(N-1). (N
7、-n+1) 种方法, 所以推广: 假设每人在一栋18层楼的哪一层下电梯是等可能的，现有9人从一层上了电梯, 求各人在不同楼层下电梯的概率?推广: 假设每人在18个车站的哪一站下车是等可能的，现有9人从起点站出发, 求各人在不同车站下车的概率?当n = 64时，P = 0.997当n = 50时，P = 0.970 ;当n = 40时，P = 0.891;例 5 在12000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。解：A：取到的数能被6 整除B：取到的数能被8 整除P(A)=由 =250P(B)=由333 334由83 84 P(AB)=1-(+-)=3/4=0
8、.75例 6 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求： 1 每一个班级各分配到一名优秀生的概率P（A）2 三名优秀生分配在同一班级的概率P（B）解： 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为样本空间例 7 某接待站在某一周曾接待过12 次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的。解：A：所有这12次接待都是在周二和周四进行的且接待时间没有规定P（A）=非常小，则，由实际推断原理，推断接待时间是有规定的。说明：实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中 实际上几乎是不发生的。总结：（a）有放回P（A）称为二项分布（b）不放回P（A）称为超几何分布作业：55页 9，10，11，13，15, 18, 19, 20
