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1、8.6 空间向量及其运算要点梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有 和 的量叫做空间向量.(2)相等向量：方向 且模 的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相 于同一平面的向量.(4)共面向量： 的向量.大小方向相同相等平行平行或重合基础知识 自主学习2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是 .推论 如图所示，点P在l上的充要条件是： 其中a叫直线l的方向向量，tR,在l上取 ,则可化为存在实数，使得a=b（2）共面向量定理的向量表达式：p= ，其中x,yR,a,b为不共线向量，推论的表
2、达式为 或对空间任意一点O有,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z，使得p= ，把a,b,c叫做空间的一个基底.xa+ybxa+yb+zc3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a， =b，则 叫做向量a与b的夹角，记作 ,其范围是 ,若a,b= ,则称a与b ,记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作 ,即.AOBa,b0a,b互相垂直|a|b|cosa,babab=|a|b|cosa,b(2)空间向
3、量数量积的运算律结合律:(a)b= ；交换律：ab= ;分配律：a（b+c）= .4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab= .（2）共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab , ,（ab）baab+aca1b1+a2b2+a3b3a=ba1=b1a2=b2a3=b3(R)ab (a,b均为非零向量）.（3）模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|= ，cosa,b= .若A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则dAB= = .ab=0
4、a1b1+a2b2+a3b3=0基础础自测测1.下列命题中是真命题的是( )A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反C.若向量 ， 满足 且 与同向，则 D.若两个非零向量 与 满足 + =0，则 解析 A错.因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较,因此也就没有 这种写法.D对. + =0, =- ， 与 共线，故 正确.答案 D2.已知空间四边形OABC中，点M在线段
5、OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，设 =a, =b,=c，则 等于( )解析B3.下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 （其中x、y、zR）,则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|a|+|b|=|a+b|；中a、b所在直线可能重合；中需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面.答案 C4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,
6、3),D(10,14,17)这四个点 (填共面或不共面).解析 =（3，4，5）， =（1，2，2），=（9，14，16），即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），共面B题型一 空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 =a， =b， =c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1） ；（2） ；（3） .根据空间间向量加减法及数乘运算的法则则和运算律即可.题型分类 深度剖析解 （1）P是C1D1的中点，用已知向量来表示未知向量，一定要结结合图图形，以图图形为为指导导是解题题的关键键.要正确理解向量加法
7、、减法与数乘运算的几何意义义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终终点的向量，我们们可把这这个法则则称为为向量加法的多边边形法则则.在立体几何中要灵活应应用三角形法则则，向量加法的平行四边边形法则则在空间间仍然成立.知能迁移1 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：解y题型二 共线、共面向量定理的应用已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有(1）要证证E、F、G、H四点共面，可寻寻求x
8、,y使（2）由向量共线线得到线线线线 平行，进进而得到线线面平行.证证明 （1）连接BG，则由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.（2）因为所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.所以 ，即EH FG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.在求一个向量由其他向量来表示的时时候，通常是利用向量的三角形法则则、平行四边边形法则则和共线线向量的特点,把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进进行求解.若要证证明两直线线平行，只需判定两直线线所在的向量满满足线线性a=b关系，即可
9、判定两直线线平行，如第（1）（2）问问即 是如此.知能迁移2 设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证证明 依题意有M、N、P、Q四点共面.(*)题型三 空间向量的模、夹角及数量积（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MNAB，MNCD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.把 用 ， ， 表示出来，然后计计算数量积积，求模和夹夹角.（1）证证明 由题意可知：|p|=|q|=|r
10、|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.(q+r-p)(q+r-p)p(qp+rp-p2）2分4分（2）解(q+r-p)(q+r-p)2q2+r2+p2+2（qr-pq-rp） 8分(3)解(q+r)10分（1）用基向量解决问题问题 ，首先要选选取一组组基底，该该基底的模与夹夹角应应已知或可求.（2）注意两向量夹夹角与异面直线线所成的角的区别别与联联系.11分12分知能迁移3 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2， A1AB=A1AD=120.（1）求线段AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3）证明：AA1BD.（1）
11、解 如图所示，设 =a，则|a|=|b|=1，|c|=2.ab=0，ac=bc=21cos 120=-1.=a+b+c.=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+22-2-2=2.（2）解 =a+b+c， =b-c，=（a+b+c）（b-c）=ab-ac+b2-bc+bc-c2=1+12-22=-2.又 =（b-c）2=b2+c2-2bc=1+4+2=7.异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（3）证证明 b-a，=c（b-a）=cb-ca=-1-（-1）=0.题型四 空间向量坐标及坐标运算设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a+3b,3a-2b,
12、ab以及a与b所成角的余弦值,并确定,应满足的条件，使a+b与z轴垂直.代入向量坐标标运算的公式求2a+3b,3a-2b，ab，利用数量积积求a与b的夹夹角余弦值值,利用（a+b）（0，0，1）=0，确定,的关系.解 2a+3b=2（3，5，-4）+3（2，1，8）=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）.3a-2b=3（3，5，-4）-2（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）.ab=（3，5，-4）（2，1，8）=6+5-32=-21.（a+b）（0，0，1）=（3+2，5+，-4+8）（0，0，1）=-4+8=0，即=2，当，满足=
13、2时，可使a+b与z轴垂直.空间间向量的坐标标运算，关键键是要注意向量坐标标与点的坐标间标间 的关系，并熟练练掌握运算公式.知能迁移4 已知ABC的顶点A（1，1，1），B（2，2，2），C（3，2，4），试求（1）ABC的重心坐标；（2）ABC的面积；（3）ABC的AB边上的高.解 （1）设重心坐标为（x0,y0,z0）,方法与技巧1.熟练掌握空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理、数量积的性质等.2.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量, 然后通过向量的运算或证明去解决问题,在
14、这里, 恰当地选取基底可使向量运算简捷,或者是建立空间直角坐标系,使立体几何问题成为代数问 题，在这里,熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础. 思想方法 感悟提高失误误与防范1.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可以避开一些较复杂的线面关系，但较复杂的代数运算也容易导致出错.因此，在解决问题时，可以灵活的选用解题方法，不要生搬硬套.2.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零.3.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的分解.4.几何体中向量问题的解决，选好基底是关键.一、选择题1.若a,b,c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）A.a,a+b,a-b B.b
