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1、课程名称工程数学 教 材工程数学讲义南京理工大学应用数学系 编 总 学 时64学时教师姓名杨彦炯课程简介1对 象复变函数、积分变换、场论主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、积分变换、场论。复数与复变函数、解析函数、2复变函数的应用背景世界著名数学家 M.Kline指出：19 世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。316世纪，解代数方程时引入复数 17世纪，实变数初等函数推广到复变数情形 18世纪，
2、J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几 何、物理意义。 19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯 分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数 的映射性质 20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质 、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等 方面有重要成果。20世纪191817164空气 动力学流体 力学电学热学复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学 、理论物理等领域有重要应用。复变函数论564）应用于计算绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。例如：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面热传导问题、电(磁)场强度。例如：热炉中温度的计算。最著名的例子是
3、飞机机翼剖面压力的计算。从而解决机翼的造型。77）Laurent级数应用于数字信号处理。8）积分变换也是复变函数的重要应用。9）Laplace变换可以求解微积分方程。积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。810）Laplace变换应用于控制问题。在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变 换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数， 对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进 行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号
4、，在 频率域中的处理要方便得多。9第一章 复数和复变函数1-1 复数及其运算1-2 复变函数10一、复数的概念对虚数单位,作如下规定:1-1 复数及其运算11复 数 (real part) (imaginary part)12A 一般, 任意两个复数不能比较大小。 复数的模 判断复数相等13例1解求设14定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 四则运算四则运算二、代数运算15z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=
5、z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即，16 共轭复数的性质共轭复数的性质定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate) 共轭复数共轭复数17例 2解18三、 复数的表示方法 点表示点表示19A 数z与点z同义.20显然成立： 向量表示向量表示21复数和与差的模的性质共轭复数的几何性质22注意 1辐角不确定，没有辐角.注意 2复数辐角的定义23辐角主值的定义2425A 当z落于一,四象限时，不变。 A 当z落于第二象限时，加 。 A
6、 当z落于第三象限时，减 。 26利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成 三角表示三角表示27利用Euler公式 指数表示指数表示28例 3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故29故30例 4 求下列方程所表示的曲线:解31化简后得32四、扩充复平面与复球面33球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数.球面上的北极 N 不能对应复平面上的定 点，但球面上的点离北极 N 越近，它所表示 的复数的模越大. 34我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大” 与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而, 球面上的北极 N 就是复数无
7、穷大 的几何表示.35包括无穷远点的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应, 这样的球面称为复球面.36 的几何解释： 由于在复平面上没有一点能与 相对应，所 以，只得假想在复平面上添加一个“假想点” （或“理想点”）使它与 对应，我们称此 “假想点”为无穷远点关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想 点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远 点，同时，任一半平面都不包含无穷远点37这里要特别注意的是，这里的记号 是一个 数，而在数学分析中所见的记号
8、+ 或 均不 是数，它们只是表示变量的一种变化状态为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们 引入了黎曼球面（或复球面）： 将一个 球心为O ，半径为1的球按照以下方法搁在直角坐 标系 （图1-5）中（设复平面与 坐标平面重合） ,使球的一条直径与 轴重合38由复数的表示式和代数运算得如下关系式 五、 乘积与商39即：定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。40几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。A 定理1可推广到n 个复数的乘积。oxy(z)z1z2z241要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.42定理2
9、 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。即43例 6解44de Moivr 公式定义六、 乘幂与方根乘幂45例7 求 的值解： 故有 因为46可以推得:从几何上看, 方根4748例 8解即4950（1） 连续曲线平面曲线的复数表示:七、平面曲线51（2） 光滑曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按(分)段光滑曲线.52（3） Jordan曲线除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为简单曲线.起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.简单闭曲线称为Jordan(若当)曲线.53Jordan曲线的性质任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交
10、的点集.内部外部边界54课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?答案简 单闭简 单不 闭不 简 单闭不 简 单不 闭55若 是简单曲线， 与 是定义在区 间a,b 上连续并且有连续的导数，并且 有 ，则称 为光滑曲线，由有限 条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑 曲线逐段光滑曲线56（1） 邻域注意八、平面点集与区域57(2) 去心邻域注意：58(3) 内点(4) 开集如果G 内每一点都是它的内点,那末称G 为开集.59(5) 区域连通的开集称为区域, 即：如果平面点集 D 满足以下两个条件,则称它为一个区域.D是一个开集；D是连通的, 就是说D 中任何两点都可以 用完全属于D 的一条折线连结
11、起来.(6) 区域的边界点、边界边界点 ：60注意1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些 孤立的点所组成的.注意2： 区域D与它的边界一起构成闭区域 D的所有边界点组成D的边界.进一步地，设 D是一个平面区域, 点 P 不属 于D, 但 P 的任一邻域内总有D的点,则称 P为区 域 D 的边界点.61以上基本概念的图示区域 邻域边界点边界(7) 有界区域和无界区域62(1) 圆环域:课堂练习 判断下列区域是否有界?(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 带形域:答案(1)有界; (2) (3) (4)无界.63例 设点集 则点 是 的内点； 是 的边界点； 是 的外点； 是开集且为有界集；
12、， 是闭集且为有界集即 常称为单位圆 这里的 64定义: 若点集D为区域则称D 连同其边界 所组成的点集称为闭域。如果区域 D 是有界集合，则称它为有界 域，否则为无界域。65(8) 单连通域与多连通域的定义复平面上的一个区域G, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就 称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通 域, 就称为多连通区域.单连通域多连通域66任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一地分成 三个 点集，使它们满足： （1）彼此不相交； （2） 是有界区域（称为曲线 的内部）； （3） 是无界区域（称为曲线 的外部）；（4）C 既是 的边界又是 的边界；3.单连域和多连域外部67例 设 ， E表示上半平面由定义得知，是单连通区域D表示环D 是多连通区域683 例题例 1指出下列不等式所确定的点集, 是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).69是角形域, 无界的单连通域(如图).无界的多连通域. 70表示到1, 1的距离之和 为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆,有界的单连通域.71有界集.但不是区域.72例 2解满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线, 不是区域.单连通域.73
