自动控制原理 第3章

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1、第三章 线性系统的时域分析法 第三章 线性系统的时域分析法 3.1 动态和稳态性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 基于MATLAB的线性系统时域分析 小结 习题第三章 线性系统的时域分析法 3.1 动态和稳态性能指标 3.1.1 典型输入信号 1. 阶跃函数阶跃函数(见图3-1(a)的时域表达式为 (3.1) 式中, R为常数, 当R1时, 称r(t)=1(t)为单位阶跃函数。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-1 典型输入信号 第三章 线性系统的时域分析法 2. 斜

2、坡函数(速度函数)斜坡函数, 也称速度函数(见图3-1(b)，其时域表达式为 (3.2) 式中, R为常数。当R1时, 称r(t)=t为单位斜坡函数。因为dr(t)/dt=R, 所以斜坡函数代表匀速变化的信号。 第三章 线性系统的时域分析法 3. 加速度函数加速度函数(见图3-1(c)的时域表达式为 (3.3) 式中，R为常数。当R1时, 称r(t)=t2/2为单位加速度函数。因为d2r(t)/dt2=R, 所以加速度函数代表匀加速变化的信号。 第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数脉冲函数(见图3-1(d)的时域表达式为 (3.4) 式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽

3、度取趋于零的极限, 则有 (3.5) 及 (3.6) 称此函数为理想脉冲函数, 又称函数(见图3-1(e)。 第三章 线性系统的时域分析法 5. 正弦函数正弦函数(见图3-1(f)的时域表达式为 (3.7) 式中, A为振幅, 为角频率。 第三章 线性系统的时域分析法 3.1.2 动态过程和稳态过程 1. 动态过程动态过程又称过渡过程或瞬态过程, 指系统在典型输入信号作用下, 系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦以及其他一些原因, 系统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构和参数选择的情况, 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然, 一个可以实

4、际运行的控制系统, 其动态过程必须是衰减的, 即系统必须是稳定的。动态过程除提供系统的稳定性信息外, 还可以给出响应速度、 阻尼情况等信息。 这些信息用动态性能描述。 第三章 线性系统的时域分析法 2. 稳态过程稳态过程(稳态响应), 是指当时间t趋近于无穷大时, 系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度, 提供系统有关稳态误差的信息, 用稳态性能来描述。 由此可见, 控制系统在典型输入信号作用下的性能指标, 通常由动态性能和稳态性能两部分组成。 第三章 线性系统的时域分析法 3.1.3 动态性能和稳态性能稳定是控制系统能够运行的首要条件, 因此只有当动态过程收敛时, 研究

5、系统的稳态性能才有意义。 1. 动态性能当系统的时间响应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略时, 称系统处于动态或过渡过程中, 这时系统的特性称为动态性能。 动态性能指标通常根据系统的阶跃响应曲线定义。设系统阶跃响应曲线如图3-2所示。图中 为输出的稳态值。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-2 动态性能指标 第三章 线性系统的时域分析法 动态性能指标通常有以下几种: 延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时间定义为响应从零第一次上升到稳态值

6、所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。 峰值时间tp: 指阶跃响应曲线超过稳态值, 到达第一个峰值所 需要的时间。 调节时间ts: 在响应曲线的稳态线上, 用稳态值的百分数(通常 取5%或2%)作一个允许误差范围, 响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。 第三章 线性系统的时域分析法 最大超调量p: 设阶跃响应的最大值为c(tp), 则最大超调量p可由下式确定: (3.8) 振荡次数N: 在0tts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c()次数的一半称为振荡次数。 上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和p。上升时间tr评价系统的响应速度; p评价系统的运行平稳性或阻尼程度

7、; ts是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。 第三章 线性系统的时域分析法 2. 稳态性能稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标, 通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷时, 系统输出不等于输入量或输入量的确定函数, 则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 第三章 线性系统的时域分析法 3.2 一阶系统的时域分析 图 3-3 (a) 一阶系统结构图； (b) 简化结构图 第三章 线性系统的时域分析法 描述时间常数为T的一阶系统的微分方程和传递函

8、数分别如下： (3.9) (3.10) 第三章 线性系统的时域分析法 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入 有 由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应c(t)为 (3.11) 第三章 线性系统的时域分析法 式中,cs(t)=1是稳态分量, 由输入信号决定。ct(t)=-et/T是瞬态分量(暂态分量), 它的变化规律由传递函数的极点s=-1/T决定。当t时, 瞬态分量按指数规律衰减到零。以下是一阶系统单位阶跃响应的典型数值。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-4 一阶系统单位阶跃响应曲线 第三章 线性系统的时域分析法 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应如果输入信号为理想单位

9、脉冲函数r(t)=(t), R(s)=1输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同, 即 这时的输出响应称为单位脉冲响应, 记作g(t)。因为g(t)=L-1G(s), 其表达式为 第三章 线性系统的时域分析法 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应对于单位斜坡函数 可求得系统输出信号的拉氏变换为 取拉氏反变换可得系统的单位斜坡响应为 (t0) 第三章 线性系统的时域分析法 式中, cs(t)=t-T是稳态分量, 它是一个与输入信号等斜率的斜坡函数, 但时间上滞后一个时间常数T; ct(t)=Te-t/T是瞬态分量, 当t时, ct(t)按指数规律衰减到零, 衰减速度由极点s=-1/T决定。单位斜坡响应

10、也可由单位阶跃响应积分得到, 其中初始条件为零。 系统的误差信号e(t)为 (3.14) 当t时, 。这表明一阶系统的单位斜坡响应在过渡过程结束后存在常值误差, 其值等于时间常数T。 第三章 线性系统的时域分析法 一阶系统单位斜坡响应曲线如图3-5所示。 由图可知, 时间常数越小, 响应越快, 跟踪误差越小, 输出信号的滞后时间也 越短。 本节最后给出线性定常系统的一个重要特性等价关系, 即线性定常系统对输入信号导数的响应, 等于此系统对该输入信号响应的导数; 线性定常系统对输入信号积分的响应, 就等于此系统对该输入信号响应的积分, 积分常数由零初始条件确定。 这个重要特性适用于任何阶线性定常

11、系统, 但不适用于线性时变系统和非线性系统。因此, 研究线性定常系统的时间响应, 不必对每种输入信号进行测定和计算, 往往只取其中一种典型形式进行研究。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-5 一阶系统的单位斜坡响应 第三章 线性系统的时域分析法 3.3 二阶系统的时域分析 3.3.1 二阶系统的标准形式 典型的二阶系统的结构图如图3-6(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统的传递函数为 令2n=K1K2/, 1/=2n, 则可将二阶系统化为如下标准形式: (3.15) 第三章 线性系统的时域分析法 对应的系统微分方程为 (3.16) 式中, 称

12、为阻尼比, n称为无阻尼自振角频率。与式(3.15)对应的系统结构图如图3-6(b)所示。二阶系统的动态特性, 可以用和n这两个参量的形式加以描述。这两个参数是二阶系统的重要结构参数。由式(3.15)可得二阶系统的特征方程为 (3.17) 所以, 系统的两个特征根(极点)为 (3.18) 随着阻尼比的不同, 二阶系统特征根(极点)也不相同。 第三章 线性系统的时域分析法 图3-6 二阶系统结构图第三章 线性系统的时域分析法 1. 欠阻尼(01)当01时, 两特征根为 这是一对共轭复数根, 如图3-7(a)所示。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-7 复平面上二阶系统闭环极点分布 第三章 线

13、性系统的时域分析法 2. 临界阻尼(=1)当=1时, 特征方程有两个相同的负实根, 即s1,2=-n此时, s1, s2如图3-7(b)所示。 第三章 线性系统的时域分析法 3. 过阻尼(1)当1时, 两特征根为 这是两个不同的实根, 如图3-7(c)所示。 第三章 线性系统的时域分析法 4. 无阻尼(=0)当=0时, 特征方程具有一对共轭纯虚数根, 即 此时, s1, s2如图3-7(d)所示。 第三章 线性系统的时域分析法 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 由式(3.15)可得二阶系统在单位阶跃函数作用下输出信号的拉氏变换为 (3.19

14、) 对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程为 第三章 线性系统的时域分析法 1. 欠阻尼情况(01)在这种情况下, 式(3.19)可以展成如下部分分式形式: (3.20) 式中, 称为有阻尼自振角频率。方程(3.20)的拉氏 反变换为 (3.21) 第三章 线性系统的时域分析法 上式还可以改写为 (3.22) 式中, 由式(3.22)可知, 在欠阻尼情况下, 二阶系统的单位阶跃响应 是衰减的正弦振荡曲线(如图3-8所示)。衰减速度取决于特征根 实部的绝对值n的大小, 振荡角频率是特征根虚部的绝对值, 即 有阻尼自振角频率d, 振荡周期为 (3.23) 第三章 线性系统

15、的时域分析法 2. 无阻尼情况(=0)当=0时, 系统的单位阶跃响应为 所以, 无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正(余)弦振荡曲线(如图3-8所示), 振荡角频率是n。 (3.24) 第三章 线性系统的时域分析法 3. 临界阻尼情况(=1)当=1时, 由式(3.19)可得 对上式进行拉氏反变换得 (3.25) 所以, 二阶系统临界阻尼情况下的单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线(如图3 - 8所示)。 第三章 线性系统的时域分析法 4. 过阻尼情况(1)这种情况下, 系统存在两个不等的实根, 即 由式(3.19)可得 第三章 线性系统的时域分析法 式中, 取上式的拉氏反变换可得过阻尼情况下二

16、阶系统的单位阶跃响应为 (3.26) (t0) 第三章 线性系统的时域分析法 显然, 这时系统的响应c(t)包含两个衰减的指数项, 其过渡过程曲线如图3-8所示。此时的二阶系统就是两个惯性环节的串联。 有关分析表明, 当2时, 两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大, 此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近, 可以用该惯性环节来代替原来的二阶系统。 第三章 线性系统的时域分析法 图 3-8 二阶系统的单位阶跃响应曲线 第三章 线性系统的时域分析法 不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线见图3-8。 从图中可以看出, 随着阻尼比的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 =0时是等幅振荡, 1时是无振荡的单调上升曲线,