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1、第第6 6章章 矩阵的矩阵的KronekerKroneker积和积和HadamardHadamard积积The The KronekerKroneker Product and Product and HadamardHadamard Product Product 概述概述：内容：内容： 介绍介绍KroneckerKronecker积和积和HadamardHadamard积积 讨论讨论 w w K-K-积，积，H-H-积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系 w w K-K-积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系 w w K-K-积，积，H-H-积的矩阵性质积的矩阵性质 w w K-K
2、-积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系 介绍应用介绍应用 w w 向量化算子向量化算子 重点：重点：K-K-积及其应用积及其应用61 61 KronekerKroneker积和积和HadamardHadamard积的定义积的定义 定义定义6 6. . 1 1（P P . . 136 136） w 设矩阵设矩阵A=A=a aij ij mm n n和和B=B=b bij ij s s t t矩阵矩阵 ，则，则A, B A, B 的的 KroneckerKronecker被定义为被定义为A AB B：A AB=B=a aij ijBBmm n n w w 设设A =A =a aij ij
3、mm n n和和B=B=b bij ij m m n n为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A A和和 B B的的HadamardHadamard被定义为被定义为A A B B：A A B= B= a aij ijb bij ij mm n n 例题例题1 1 设设 ，计算，计算A AB B，B BA A，I IB B，A A B B，I I A A K-K-积，积，H-H-积的基本结果：积的基本结果： w w A A和和B B中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则A AB=0B=0，A A B=0B=0 w w I II=II=I，I I I=II=I w w 若若A A为对角矩阵，则为对角矩阵，
4、则A AB B为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，A A B B 为对角矩阵。为对角矩阵。 K-K-积的基本性质积的基本性质 w w 定理定理6 6. .1 1（P P . . 138 138）设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则 （kAkA）B=B=A A（k kB B） A A（B+CB+C）= =A AB+AB+AC C （A AB B）C=C=A A（B BC C） （A AB B）HH=A=AHHB BHH A AB B B BA A H-H-积的基本性质：积的基本性质： 设设A A，B B为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则 w w A A B=BB=B A A w w （kA
5、kA） B=B=A A （k kB B） w w A A （B+CB+C）=A=A B+B+A A C C w w （A A B B） C=C=A A （B B C C） w w （A A B B）HH=A=AHH B BHH KroneckerKronecker和和HadamardHadamard的关系：的关系： w w 定理定理6 6.3 .3（P P . . 139 139） K-K-积积与矩阵乘法与矩阵乘法 w w定理定理6 6.2 .2（P P . . 138 138）设矩阵设矩阵A A，B B，C C，D D使使 得下列运算有意义，则有得下列运算有意义，则有(AB) (CB)=（A
6、C）（BD） w w意义：意义：建立KroneckerKronecker积和矩阵乘法的相互积和矩阵乘法的相互 转换。转换。 w w特别情形：特别情形：设设A A F F m m m m ，B B F F n n n n，则则w w A AB=B=(Imm B) (AI n n)= (AI n n) (Imm B) 6.2 .2KroneckerKronecker积和积和HadamardHadamard积的性质积的性质 KroneckerKronecker积的矩阵性质积的矩阵性质 w w 定理定理6 6.4 .4 （P P . . 140 140）设矩阵使下列运算有意义，设矩阵使下列运算有意义，
7、 则则 当当A A，B B分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，A AB为可逆矩阵，而且为可逆矩阵，而且 有有 (AB) 1 =A1B 1 当方阵当方阵A A F F m m m m ，B B F F n n n n时，方阵时，方阵A AB F F mnmn mnmn的行列式为的行列式为| |A AB| =|A| =|A|n n |B| |B| mm 若若A A，B B 是是HermiteHermite矩阵，则矩阵，则A AB是是HermiteHermite矩阵矩阵 若若A A，B B 是酉是酉 矩阵，则矩阵，则A AB是酉矩阵。是酉矩阵。 KroneckerKronecker与矩阵等价、相似关
8、系与矩阵等价、相似关系 定理定理6 6.5 .5（P P . . 141 141） w w 设矩阵设矩阵A A，B B，为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则(AI)等价于(IB) w w 设方阵设方阵A A相似与相似与J JA A，方阵方阵B B相似于相似于J JB B，则则(AB) 相似于 (JA AJB B) K-K-积特征值和特征向量积特征值和特征向量 定理定理6 6.6 .6（P P . . 142 142）设设A A F F m m m m 的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是 i i，x xi i，B B F F n n n n的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量
9、分别是 j j， y yj j，则则 w (AB) 的特征值是 i i j j。特征向量是(xi iyj j) 。 w (AI) +(IB) 的特征值是 i i + j j，特征向量是(xi iyj j) w w 更一般的结果：更一般的结果： 定理定理6 6.7 .7（P P . . 142 142）的特征值为的特征值为 KroneckerKronecker的函数性质的函数性质 定理定理6 6.8 .8（P P . . 143 143）设是设是f f(z z)解析函数，解析函数， f f(A)有意义，则有意义，则 w w f f (IA) =If(A) w f(AI) =f(A)I 特例： w
10、 w 例题例题1 1 设设 A A F F m m n n ， B B F F s s t t ，证明证明rankrank（A A B B）=rank=rank（A A）rankrank（B B）例题例题2 2（P P . . 144 144） ，设设，求求(AB)的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 (AI) +(IB)的特征值和特征向量的特征值和特征向量例题例题3 3：证明对任何方阵，有证明对任何方阵，有6. . 3 3 矩阵的向量化算子和矩阵的向量化算子和K-K-积积 向量化算子向量化算子VecVecw w 定义定义（P P . . 143 143）设设 A=A=a aij ij m
11、m n n 则则VecVec( (A A) ) = = ( (a a11 11 a a21 21 a am1m1； a a12 12 a a22 22 a am2 m2 ；a a1n 1n a a2n 2n a amjmj) )T Tw w 性质：性质：（P P . . 146 146） w w VecVec是线性算子：是线性算子：VecVec（k k1 1A+kA+k2 2B B）=k =k 1 1Vec Vec ( ( A A ) ) +k+k2 2VecVec ( ( B B) ) 2 2 定理定理6. 106. 10（P P . . 146 146）VecVec( (ABC) =(CA
12、BC) =(CT T A) VecBVecB 3 3 VecVec( (AX) =(IAX) =(I A) VecXVecX4 4 VecVec( (XC) =(CXC) =(CT T I) VecXVecX用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组 思想思想：用：用VecVec算子，结合算子，结合KroneckerKronecker积将矩阵方积将矩阵方 程化为线性方程组求解。程化为线性方程组求解。1 1、 A A F F m m m m ， B B F F n n n n ，D D F F m m n n ，AX+XB=DAX+XB=D分析：分析：AX+XB=D AX+XB=D （
13、I I A+B BT T I）VecXVecX =VecDVecD G= （I I A+B BT T I）， 方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即 A和-B没有共同的特征值。 例题1 （P P . . 147 147）用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组 2、A A，X X F F n n n n ，AX-XA=AX-XA=kXkX分析：分析：AX-XA=AX-XA=kXkX （I I AA AT T I）VecXVecX =kVecXVecX H= （I I A A AT T I ) ， 方程( ( kI-H) )y=0 有非零解的充要条件是k为 H的特征值，k=i j
14、。 例题2 求解矩阵方程AX AX XA= XA= 2X 2X 用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组 3 A3 A，B B，D D，X X F F n n n n ，AXB=DAXB=D 分析：分析： AXB=D AXB=D （B BT T A）VecXVecX =VecDVecD L= B BT T A ， 方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵. 例题3 求解方程A A1XBXB1+ A+ A2XBXB2=D=D例题例题4 4 设设A A C C m m m m ，B B C C n n n n ，D D F F m m n n ，证明谱半径证明谱半径 ( (A A) ) ( (B B) ) 1 1 时方程：
