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1、随机过程教程第2讲 概率空间东南大学移动通信国家重点实验室 陈 明 制作 *1东南大学无线电工程系概率空间w认识随机系统n举例，p.13-14n要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键 w认识样本空间n可数和不可数n瞬态和过程n标准化：数、向量、函数Date2东南大学无线电工程系关于可数和不可数w集合的映射：单射、满射和双射(p.23)原像集像集单射（不同的原 像具有不同的像）Date3东南大学无线电工程系满射（每一个像都有原像）原像集像集Date4东南大学无线电工程系双射（既是单射，又是满射）原像集像集从直觉上承认能建立双射关系的两个 集合，
2、其所含元素的“个数”一样多。Date5东南大学无线电工程系可数和不可数的定义w凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 w可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 w已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：1,2,(0.1,0.01),R,等等Date6东南大学无线电工程系无穷大的分类w0, 1 ,2 ,3,(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， )，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的
3、关系。Date7东南大学无线电工程系对于无穷大，“整体大于部分” 的直觉不再成立w对于自然数集 ，偶数集合 是一个子集 ，但我们将 中的 和 中的 建立对应关系，就发现这是一 个双射。 w自然数旅馆的“故事” w不可数集合的“部分等于全体”Date8东南大学无线电工程系无穷大的趣闻三次数学危机w第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线）w第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零）Date9东南大学无线电工程系第三次数学危机w罗素悖论w对“无穷问题”的评价：大脑的概念和存在 性问题（认识主体和客体的关系）。Date10东南大学无线电工程系事件和Borel集
4、w事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。（ 举例说明） w不可能事件 w必然事件 w基本事件：可数和不可数 wBorel集：规定了事件的全体及其相容性Date11东南大学无线电工程系概率空间的定义w阅读讲解p.16定义2.1 w理解概率空间n概率空间是对随机现象的基本建模方法n概率空间有三个要素：样本空间、Borel事 件集、概率集函数,(S,B,P)n样本空间和Borel事件集是随机系统的输出n概率集函数对事件发生可能性的大小进行了 先验的量化Date12东南大学无线电工程系概率空间的建模方法w舍弃了对输出某个结果机制的观察
5、，而 是观察某个结果的输出可能性 w是对输出结果的统计观察 w先验量化的理由有许多 w完成先验量化的是概率集函数Date13东南大学无线电工程系概率集函数w概率集函数的标准化 w概率集函数的性质2.1 w概率集函数的确定：先定义所有基本事 件的概率，然后再利用下面两个性质定 义其他事件的概率n任何事件都可以表示为若干个互斥基本事件 的并n概率的可数可加性公理Date14东南大学无线电工程系可数样本空间概率集函数的确定Date15东南大学无线电工程系不可数样本空间概率集函数的确定w基本事件集合为左开右闭的区间 wBorel集合为包含基本事件的最小Borel 集，称为由基本事件集合生成的Borel
6、集 w先定义基本事件区间上的概率 wBorel集合中其他事件的概率根据基本事 件集合的概率计算出来Date16东南大学无线电工程系条件概率的定义Date17东南大学无线电工程系事件之间的关系：独立和互斥w独立的两个事件不一定互斥，也即两个 事件独立则可能交集不空 w互斥的两个事件不一定独立，也即交集 为空的两个事件不一定独立 w例2.3Date18东南大学无线电工程系全概率公式w意义n分割的意义是对样本空间的分类n不同条件下事件B发生的概率不同n事件B的概率是所有不同条件下的条件概率的加权 平均 w在连续情形下的推广Date19东南大学无线电工程系Bayes公式w在观察两个事件关系的时候，有时候需要 知道A条件下B发生的概率P(A|B)，有时候 需要知道B条件下A发生的概率P(B|A) wBayes公式揭示了这两个概率之间的关系Date20东南大学无线电工程系作业w 习题n2.4 n2.7n2.12Date21东南大学无线电工程系随机过程第2讲“概率空间” 终Date22东南大学无线电工程系
