自动控制第四章

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1、第四章 线性系统的根轨迹法(Root Locus Method)4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析根据系统的开环传递函数，绘制出系统的闭环极点 随某一参数变化的轨迹，从而分析系统的稳定性及动、 静态性能。 4-1 根轨迹法的基本概念1、根轨迹概念根轨迹简称根迹 , 它是开环系统某一参数从零变到无 穷时 , 闭环系统特征方程的根(闭环极点)在 s 平面上变化的轨迹。系统的稳定性由系统闭环极点确定 , 而系统的稳态性能和 动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置相关 , 所以根轨 迹图不仅可以反映出闭环系统的时间响应 , 还可以

2、指明开环零 、极点应该怎样变化, 才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。例闭环传递函数为（1）稳定性 当开环增益从零 变到无穷时, 根轨迹不会越过虚 轴进入右半 s 平面 , 系统对所有 的 K 值都是稳定的。当根轨迹 与虚轴相交时 , 交点处的 K 值就 是临界开环增益 .（2）稳态性能 系统属型系统 ，根轨迹上的 K 值就是静态速度 误差系数。若给定系统的静态误 差要求 , 则由根轨迹图可以确定 闭环极点位置的容许范围。2、根轨迹与系统性能（3）动态性能 当 00.5 时 ,闭环极点为复数极点, 系统为欠阻尼系统, 单位阶 跃响应为阻尼振荡过程 ,且超调量将随 K 值的增大而加大, 但调节

3、时间的变化不会显著。3、闭环零极点与开环零极点间的关系前向通路传递函数 G(s) 可表示为反馈通道传递函数 H(s) 可表示为式中: K*=K*G K*H 开环系统根轨迹增益; f + l = m 开环零点的个数 ;q + h = n 开环极点的个数 。系统的开环传递函数可表示为系统的闭环传递函数为 闭环系统根轨迹增益 ,等于开环系统前向通道根轨迹增 益;对于单位反馈系统 , 闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 闭环零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道 传递函数的极点所组成; 对于单位反馈系统 , 闭环零点就是开环零点。 闭环极点与开环零点、开环极点及根轨迹增益均有关。4、根轨

4、迹方程上式称为根轨迹方程. 其中 zj 为已知的开环零点 ; pi 为已知的 开环极点 ; K*为开环系统根轨迹增益 , 可以从零变到无穷大 。系统的闭环特征方程为S是复数，根轨迹方程是一个向量方程相角条件是确定 s 平面上根轨迹的充要条件, 只有当需要确定 根轨迹上各点的 K * 值时才使用模值条件 。 相角条件 模(幅)值条件例：R(s)C(s)-求K自0变变化时闭环时闭环 特征方程式根的轨轨迹。例：R(s)C(s)-求K自0变化时闭环特征方程式根的轨迹。4-2根轨迹绘制的基本法则相角遵循180+2k的条件180根轨迹1、绘制根轨迹的基本法则法则 1 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 根轨

5、迹的分支数与开环有限零点数 m 和有限极点数 n 中的 大者相等 , 它们是连续的并且对称于实轴。法则 2 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点, 终于开环零点 。 mn，有 n-m 条根轨迹的终点终于无穷远处（即开环无限零点）。 若有mn, 则有m-n条根轨迹始于无穷远处(即开环无限极点)法则 3 根轨迹的渐近线。 当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时 , 有 n-m 条根轨迹 分支沿着与实轴交角为a , 交点为a 的一组渐近线趋向无穷远 处 , 其中法则 4 实轴上的根轨迹。 实轴上的某一区域 , 若其右边开环实数零、极点个数之和为 奇数 , 则该区域必是根轨迹。法则 5 根轨

6、迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上相遇又立即分开的点 , 称为根轨迹的分离点。分离点的坐标d是下列方程的解：或分离角为(2k+1)/l。分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的 切线方向之间的夹角。当l条根轨迹分支进入并立即离开分离 点时，分离角可由(2k+1)/l决定，其中l=0,1, l-1. 显然l=2时 ，分离角为直角。法则 6 根轨迹的起始角与终止角。 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角 , 称为起 始角 , 以 标志 ; 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实 轴的夹角 , 称为终止角, 以 表示。这些角度可按如下关系 式求出 :法则 7 根轨

7、迹与虚轴的交点 。若根轨迹与虚轴相交 , 则交点上的 K* 值和 值可用劳斯判 据确定 ; 也可令闭环特征方程中的 , 然后分别令其实部和虚部为零而求得。1、n=4，m=0，4条根轨迹分支。例 4-4 设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹 。3、渐近线有四条2、起点：s=0、-3、-2j，终点无穷远处。4、实轴上的分布： 0 ，-35、分离点：7、与虚轴交点处 :6、起始角：法则 8 根之和 。系统的闭环特征方程 , 在 nm 的一般情况下, 可以不同形式表示为式中 , si 为闭环特征根。在开环极点确定的情况下 , 这是一个不变的常数。所以 , 当开环增益 K* 增大时 , 若闭环

8、某些根在 s 平面上向左移动 , 则另一部分根必向右移动 。当 时 , 特征方程第二项系数与 K* 无关 , 无论 K* 取何值 , 开环 n 个极点之和总是等于闭环特征方程 n 个 根之和: 2、闭环极点的确定（1）对于特定 K* 值下的闭环极点 , 可用模值条件来确定已知系统的开环传递函数为求K04时系统的闭环极点。（2）确定具有指定阻尼比的闭环极点已知系统的开环传递函数为求 0.5时系统的闭环极点和相应的根轨迹增益K0 。已知一单位反馈系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹，分析K0对系统性能的影响，求系统的最小阻尼比所对应的闭环极点。设系统的开环传递函数为K*= 0，绘制系统根轨迹并确定

9、： 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围； 当 3=-5 时， 1，2=？相应 K=? 复极点对应=0.5 (=60o) 时的 K 值及闭环极点位置； 当 K*=4 时， 求 l1, 2, 3 并估算系统动态指标( ,ts)。4.3 广义根轨迹在控制系统中 , 通常将负反馈系统中根轨迹增益 K* 变化时的根轨迹称为常规根轨迹 。而将其它情形下的根轨迹 , 如参数根轨迹 , 开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨 迹等都称为广义根轨迹 。4.3.1 参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。在绘制参数根轨迹之前，只要引入等效单位 反馈系统和等效

10、传递函数的概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。一位置随动系统如图试求：1）绘制以为参变量的系统根轨迹。2）求系统阻尼比0.5时的闭环传递函数。-4.3.2 零度根轨迹 非最小相位系统(在右半s平面具有零、极点的控制系统); 系统中包含有正反馈的内回路 。零度根轨迹 , 因为其相角遵循 ,而不是故而得名。其来源为正反馈系统的根轨迹方程为 相角条件 模值条件1、正反馈系统绘制零度根轨迹时 , 应调整的绘制法则有 :法则 4 实轴上的根轨迹应改为 :实轴上的某一区域 , 若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数 , 则该区域必是根轨迹。法则 3 渐近线的交角应改为法则 6 根轨

11、迹的起始角和终止角应改为 : 起始角为其 它零、极点到所求起始角复数极点的各向量相角之差 , 即终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量 相角之差的负值 , 即设正反馈系统的开环传递函数为K*= 0，绘制系统零度根轨迹。2、系统中含有非最小相位元件在绘制系统中含有非最小相位元件的根轨迹时，必须注意 开环传递函数(分母或分子)中是否含有s最高次幂为负系数 的因子。若有，则所绘制的将是零度根轨迹。4.4 系统性能的分析与估算应用根轨迹法 , 可以较快的确定系统在某一开环增益或 某一参数值下的闭环零、极点的位置 , 从而去定性地分析或定量估算系统的性能。1、附加开环零点的作用附加开环实数零

12、点 z1 , 其值可在左半 s 平面内任意选择 。当 z1 时，表示有限零点不存在的情况 。系统的开环传递函数为增加一个零点 增加一个零点 在开环传递函数上增加零点 ，可以使根轨迹向左方弯曲，因 而提高了系统的相对稳定性。而且这种向左弯曲的趋势随着 增加零点的右移而加剧。这是因为零点数m的增大，使渐近 线与正实轴的夹角增大。同时，随着零点增大（零点在实轴 上向右移），使渐近线与实轴的交点左移。 在相同的K值时，对应的阻尼比增大，超调量减小，调整时间 变短。2、增加开环极点的影响 系统的开环传递函数为增加一个极点 增加一个极点 增加一个极点 在开环传递函数上增加极点 ，可以使根轨迹向右方弯曲，因

13、 而降低了系统的相对稳定性，使系统从稳定变成不稳定。在相同的K值时，对应的阻尼比减小，超调量增大，调整时间 变长，振荡加剧。1、闭环极点位置对系统性能的影响：1）稳定性分析：闭环极点在s 左、右平面的分布反映了系 统的稳定性。根轨迹全部位于s平面的左半侧，且离虚轴越远 越稳定。根轨迹法总结 系统的特征根分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关 ，特征根是由系统的特征方程得到的，而特征方程和开环传 递函数直接相关。因此开环零极点、开环增益等参数对根轨 迹有影响。通过开环传递函数来画出系统的根轨迹。 2）暂态性能分析： a、闭环极点的实部反映系统的调整时间，负实数极点离 虚轴越远，对应的分量衰减越快，

14、系统的调节时间就越短， 响应越快。b、闭环极点的虚部表征系统输出响应的振荡频率。c、闭环极点与坐标原点的距离表征了系统的无阻尼自然 振荡频率。d、闭环极点与负实轴的夹角反映了系统的超调量。当系统具有多个闭环极点时，可借助于主导极点的概念，将 系统简化成低阶系统来处理。 3）稳态性能分析：系统稳态误差的大小与系统的开环增益成反比。 开环增益与根轨迹增益之间确定的比例关系。 2、增加开环零点对根轨迹的影响1）加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角 。 2）增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向 左移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻 尼增加，过渡过程时间缩短。 3）增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强， 系统的相对稳定性越好。 3、增加开环极点对根轨迹的影响1）加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 2）增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻尼减小 ，过渡过程时间加长； 3）增加的开环极点越接近坐标原点，积分作用越强，系 统的相对稳定性越差。4、增加开环偶极子的作用开环偶极子：零极点距离很近。增加一对开环偶极子，对根轨迹几乎没有影响， 但可以改善系统的稳态性能。若取开环放大倍数增加了10倍，系统的稳态精度得到了有效的提高。