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1、第六节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 设有两块曲面S1, S2, 它们的 方程依次为: S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程, 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程. 因此即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.(1)xy zo S1S2C例1: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是一个圆, 它的一般方程是x 2 + y 2 + z 2 = 32z = 2例2: 方程组表示怎样的曲线?解: 方程 表示球心在原点O, 半径 为
2、a的上半球面.方程 表示母线平行于z 轴的圆柱面.它的准线xOy面上的圆, 圆心在点所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.Oxyz二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个 参数t的函数. x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t 的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做 空间曲线的参数方程.例3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以 角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿 平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是
3、常数 ), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立 其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0). xyzh AOMtM(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以 经过时间t, AOM = t. 从而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋线的参数方程x = acos t y = asin t
4、 z = vt 注: 还可以用其它变量作参数.xyzAOMt MyxzAOMt M例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:x = acos y = asin z = b 当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h在工程上称 h = 2 b为螺距.三、空间曲线在坐标面上投影三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0(3)由方程组(3)消去z后得方程H (x, y) = 0 (4)方程(4)表示一个母线
5、平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影. 所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.H (x, y) = 0 z = 0注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线 方程.例4: 已知两个球面的方程分别为:x2 + y2 + z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解: 联立两个方程消去 z ,得这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的
6、 交线C在xOy面上的投影曲线方程为例5: 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面与锥面的交线为由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2 + y2 = 1 z = 0这是xoy面上的一个圆.所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1四、二次曲面四、二次曲面1. 定义: 由x, y, z的二次方程:ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 称为二次曲面. 其
7、中a, b, , i, j 为 常数.研究方法是采用平面截痕法.zoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.2. 几种常见二次曲面.(1) 椭球面1 用平面z = 0去截割, 得椭圆3 类似地, 依次用平面x = 0,平面y = 0截割, 得椭圆:特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.(2) 椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线 是平面 z = k上的椭圆.k = 0时, 为一点O(0
8、,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.zyxo2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.第七节 平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程1. 法向量:若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n 为平面 的法向量.注: 1 对平面, 法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.2. 平面的点法式方程设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =x x0, y y0, z z0,得
9、: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称方程(1) 为平面的点法式方程.(1)例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量 的平面的方程.解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y + 3z 8 = 0 nM3M2M1解: 先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=3, 4, 6 M1M3=2, 3, 1可取n = M1M2 M1M3= 14i + 9j k例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和
10、M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程为: 14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 二、平面的一般方程二、平面的一般方程1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = A, B, C证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为它表示过定点 , 且法向量为 n = A, B, C的平面.注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)称为平面的一般方程.例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且
11、平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 42(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的几种特殊情形(1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:Ax + By + Cz = 0(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A =
12、0于是:平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别: D = 0时, 平面过坐标轴.(3) 平行于坐标面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B
13、 C = 0C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 例4: 设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程.解: 设所求平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0解得:oyP xzQR所求平面的方程为:即: (3)三、两平面的夹角三、两平面的夹角1. 定义: 两平面的法向量的夹角(通常指锐角) 称为两平面的夹角.1
14、n1n22若已知两平面方程是:1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0法向量 n1 = A1, B1, C12: A2x + B2y + C2z + D2 = 0法向量 n2 = A2, B2, C2所以2. 平面1与2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0平面1与2 相互平行规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.例6: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解: 设所求平面的一个法向量 n =A, B, C已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1 所以:
15、 n M1M2 且n n1 而 M1M2 = 1, 0, 2于是:A (1) + B 0 + C (2) = 0A 1 + B 1 + C 1 = 0解得: B=C A= 2C取C = 1, 得平面的一个法向量n = 2, 1, 1所以, 所求平面方程是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0例: 设P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点, 求P0到这平面的距离d.解: 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1)P0P1 Nn则 P1P0 =x0 x1, y0 y1, z0 z1过P0点作一法向量 n =A, B, C于是:又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D所以, 得点P0到平面Ax
