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1、选自2006年广州市普通高中毕业班综合测试(一)概念清，路子正方法优，运算准*北大附中深圳南山分校 高三数学组倪 杰奋斗拼博2ABCDEM解法一:()证明:取BE的中点N, 连接MN，AN，则MN/CB/DA， 故M，N，A，D四点共面. 2分NDA平面EAB， DAEB. 3分 又EA=AB ，ANEB 4分 由MNAN=N，EB平面ANMD 6分DMEB. 7分也可以直接用“三垂线定理”【08深一模】18.(本小题满分14分)如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB ，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是EC 的中点，() 求证：DMEB； ()求二面角M-BD-A的余
2、弦值.3P设CB=a，AC与BD的交点为 O，AOD=CAB=， Q OABCDENM解: ()取AC的中点P，连MP，则MP/EA， MP平面ABCD，过P作PQBD，连QM，则 QMBD， MQP是二面角M-BD-A的平面角 9分 则有sin=sin(+450) 又MP= 0.5EA=a，在RtMPQ中，即二面角M-BD-A的余弦值为 14分 12分？4EDCBAMzyx解法二: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设 CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a， 0)，C(0， 2a，a)，D(0，0，2a)，所以
3、M(a，a， ) 4分DMEB，即DMEB 7分 ()解:设平面MBD的法向量为n=(x，y，z)DB=(0，2a，2a)由nDB， nDM得DM EB =a (2a) +a 2a +0=0()证:DM=(a，a，1.5a)，EB=(2a，2a，0)， 5分5取z=2得平面MBD的一非零法向量为为n=(1，2，2)， 又平面BDA的法向量为为 n1=(1，0，0)，cos 即二面角M-BD-A的余弦值为 14分 11分EDCBAMzyx 10分此题用“坐标法”解简单易行！617.(本小题满题满 分14分) 如图图，边长为边长为 2的线线段AB夹夹在直二面角-l- 的两个半平面内，A，B，且AB
4、与平面、 所成的角都是300 ，ACl垂足为为C，BDl，垂足 为为D. () 直线线AB与CD所成的角； ()求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值值lDCBA如何合理的选择正确的方 法解“立几”题？ 通过解题的过程您将有会 什么样的收获与启发？ 本节将以此题为例探索解决 立体中有关角的问题的规律 .由此我们联想2006广州一模一道立体几何题7平移法:即根据定义，以“运动”的观点，用“ 平移转化”的方法使之成为相交直线所成的角. 选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面 直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之. 补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 ，如正方体、平行六面体等，其目
5、的在于易于发现 两条异面直线的关系.向量法:线线角可转化为 两直线的方向向量所成的角. 异面直线所成角的范围是: (0，900 求异面直线所成的角常用的方法有：一、异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成 角,就是要将其变换成相交直线所成有角. 8二、直线和平面所成的角二、直线和平面所成的角 直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角0斜线和平面所成的角是：斜线及斜 线在平面上的射影所成的角.关键是 找准斜线段在平面内的射影；直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90；直接法:通常是从斜线上找特殊点， 作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之. 公式法：求斜线与平面所成 的角，
6、还可以利用三面角的余 弦公式：注:当余弦值为负值时其对应角为钝角，这不符合 定义，故其补角为所求的角.cos=coscos9nAB向量法线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角 的余角. 线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成 角的补角的余角.ABCP在RtPAC中，cos=在RtABC中，cos=在RtPAB中，cos=cos=coscos102、二面角的平面角的作法：定义法：点P在棱上根据定义作出来.lP作垂面：点P在二面角内作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.AOBlP应用三垂线：点A在一个半平面上应用三垂线定理或其逆定理作出来.BAOl三、平面和平面所成的角三、平面和平面所
7、成的角:( (二面角的平面角)以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上 分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角.二面角范围为00，1800.11一“作”二“证”三“计算”ABC的边BC在平面内， A在平面内的射影是P， 设ABC的面积为S，它和 平面交成二面角(0 90 )， 射影PBC的面 积为S1， 求证:S1=Scos.ABCPD面积射影法: S射=S原cos1.顶点在棱上；2.两边在两面内；3.两边垂直于棱.注意:二面角的平面角必须满足:S1 =SPBC= BCPD ，S2 = SABC= BCAD，12用此公式就可以求出二面角的平面角 (异面直线上两点的距离
8、公式)公式法：如图，CBF= 为二面角的平面角 在 CBF中，由余弦定理可求得， 再由RtECF可得 EF2= d2+m2+n22mncos (0，180)EFmnd B ClmdO面面角等于两平面的法向 量所成的角或等于两平面 的法向量所成角的补角. 技巧:先由直觉判断二面角 为锐角还是为钝角然后取 等角或补角与之相等.向量法:借用公式13求二面角方法:.应用三垂线（逆）定理法：在二面角-l-的 面上取一点A，作AB于B，BCl于C，则 ACB即为-l-的平面角.作垂面法:作棱的垂面，则它和二面角的两个面 的交线所成的角就是二面角的平面角 .向量法:利用两平面的 法向量的夹角与二面角的 平面
9、角的关系求得. .cos=OAD CB HS1S.定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角即二面角的平面角.公式法:l2=m2+n2+d22mncos.142.学会求简单的二面角问题，求二面角问题的关键 在于确定二面角的平面角；体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知识 方面的重要作用.1.平几中“角”联想、类比立几中的“二面角”平面角度量定义法、三垂线法、 垂面法、射影法找出（或作）找出或作出二面角的平面角;证明其符合定义; 计算，其格式为:应先定其位，后算其值， 其特点:“夹议夹叙”.3.求二面角大小的步骤为:归纳小结15()由于 ，
10、且ACl ，则AC ，建立如图所 示空间直角坐标系.故直线AB与CD所成的角为450.ACl于C，BDl于 D，则AC=1， BD=1， AD= ， CD= 所以A(0， 0， 1)， B(1， ，0)，C(0，0，0)， D(0， ， 0)，解法一: 向量法lDCBAxyz如图图，边长为边长为 2的线线段AB夹夹在直二面角-l-的两 个半平面内，A，B，且AB与平面、所成 的角都是300 ，ACl垂足为为C，BDl，垂足为为D. () 直线线AB与CD所成的角； 16()在平面内过点B作 BEDC且BE=DC，连结 CE ，EA，则四边形BECD 是矩形，所以ABE就是 直线AB与CD所成的
11、角.AB=2，ACl，AC ， AC .CE BE，AE BE， ABC=300 ,AC=1,同理BD=1,CE=1, AE= ABE=450, 故直线AB与CD所成的角为450.在RtAEB中，sin ABE=解法二： 平移法解法三:补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几 何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.lDCBAE17B例1、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm， 求异面直线A1C1与BD1所成的角.解法一（平移法）：如图，连B1D1与 A1C1 交于O1，取BB1的中点M，连O1M， 则O1MD1B，O1M于是A1O1M就是异面直线A1C1
12、与BD1所成 的角（或其补角），连A1M，在A1O1M中DB1A1D1C1AC由余弦定理得A1C1与BD1所成的角为 解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并 与原长方体有公共面 BC1的方体B1F，连结A1E，C1E， 则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，18在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成的角为F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法三（向量法）：A1D1C1B1ABCDxyz19lDCGF BA（） AC, AC 平面 ABC, 平面BAC平面BDC, 且交线是BC. 过D点作DF BC，垂足为F ，则DF 平面BAC. 过F点作FG A B，垂足为
13、G, 连结DG，则DG AB. 所以DFG二面角C-AB-D的平面角故二面角C-AB-D所成 平面角的余弦值为 解法一：垂线法广州一模 17.(本小题满分14分） 如图, 边长为2的线段AB 夹在直二面角-l-的两个半平面内,A, B，且AB与 平面、所成的角都是300 , ACl垂足为C，BDl，垂 足为D. （)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值20由于D在平面ABC内的射影F在BC边上，ABF为 ABD在平面ABC上的射影，设所求的二面角为, 解法二：射影法lDCF BA故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为广州一模 17.(本小题满分14分） 如图, 边长为2的线段AB 夹在直二
14、面角-l-的两个半平面内,A, B，且AB与 平面、所成的角都是300 , ACl垂足为C，BDl，垂 足为D. （)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值21lBADCxyz故二面角C-AB-D所成平面角的余弦值为解法三：向量法设平面ABD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，()设平面ABC的一个法向量 为n1=(x1,y1,z1)，广州一模 17.(本小题满分14分） 如图, 边长为2的线段AB 夹在直二面角-l-的两个半平面内,A, B,且AB与 平面、所成的角都是300 , ACl垂足为C，BDl，垂 足为D. （)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值22如图，作CE、DF都垂
15、直于 所求二面角的棱AB，E、F 是垂足，设所求二面角C- AB-D的平面角大小为，则解法四：公式法lDC FBAE广州一模 17.(本小题满分14分) 如图, 边长为2的 线段AB夹在直二面角-l-的两个半平面内，A ，B,且AB与平面、所成的角都是300 , ACl 垂足为C，BDl，垂足为D. () 直线AB与CD所成的角； ()求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值23例题2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面 A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1Oxyz（解法一） DC平面BCC1B1, BC1 平面BCC1B1, BC1 DC, 且BC1 B1C, BC1 DC=C, BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角 BC1 平面B1CDA1 所以BA1O =300，故A1B与平面A1B1CD
