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1、 第4章 图像变换n n4.1 4.1 傅里叶变换傅里叶变换n4.2 离散余弦变换n4.3 K-L变换n4.4 小波变换*2第4章 图像变换为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他 空间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理 ，然后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。*1.1.一维连续傅里叶变换一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。则定义f(x)的傅里
2、叶变换为：*4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换4从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：*上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示 ： F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。写成指数形式：4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换5F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角： *幅度：相角：幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为 相位谱。 称为f(x)的能量谱或称为功率谱。 4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换62.二维连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两
3、个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶 变化对： *二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： 7*1.一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换8傅里叶反变换定义由表示： *可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换92.离散傅里叶变换（D
4、FT）的矩阵表示法由DFT的定义，N4的原信号序列 f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶变换F(u)展开为： *4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换10将e指数项化简可写成矩阵形式： *记作：可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示。当N=4时 ，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换矩阵第u行每次移动u份得到该 行系数。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换11*(a)(b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N4 (b)N84.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换12*同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8
5、的W阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、,7份，可得W阵为:4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换13*4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换142.二维离散傅里叶变换 一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此 ，数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二 维傅里叶变换可用下面二式表示。*4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换15在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是M=N。正逆变换对具有下列对称的形式：*4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换163.二维离散傅里叶
6、变换的性质 二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为 使用提供了极大的方便。1）分离性二维离散傅里叶变换具有分离性 *4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换17*分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分两步 求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其结果 乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每一列 取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法是先 行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换18*行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为
7、一系列一维的计算方法 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换19对逆变换f(x,y)也可以类似地分两步进行。*4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换202）平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指： *由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率 平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并 取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当 u0=v0=N/2时，指数项为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换21即为：*这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里 叶变换原点移动到N*
8、N频率方阵的中心，这样才能看到整个 谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。 此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变 换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、 卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有 重要意义。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换223.DFT应用中的问题 1）频谱的图像显示 DFT在计算机图像处理中计算的中间过程和结果要图 像化。对DFT来讲不但f(x,y)是图像,F(u,v)也要用图像来 显示其结果。 谱图像就是把|F(u,v)|作为亮度显示在屏幕上。但在 傅里叶变换中F(u,v)随u,v的衰减太快，其
9、高频项只看到 一两个峰，其余皆不清楚。 由于人的视觉可分辨灰度有限，为了得到清晰的显示 效果，即为了显示这个频谱，可用下式处理，设显示信号 为D(u,v), *4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换23即用显示D(u,v)来代替只显示|F(u,v)|不够清楚的补救 方法。 谱的显示加深了对图像的视觉理解。如一幅遥感图像 受正弦网纹的干扰，从频谱图上立即可指出干扰的空间频 率并可方便地从频域去除。如图4.7为图像的傅里叶频谱图像*4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换24*图4.7 图像的傅里叶频谱图像，原始图像，(b) 频谱直接显示，(c)频谱经过变换后的结果(b
10、)(c )4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换a. a. 252.频谱图像的移中显示 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心的公式， 其结果中心最亮点却在频谱图像的左上角，作为周期性函数 其中心最亮点将分布在四角，为了观察方便，将频谱图像的 零点移到显示的中心。当周期为N时，应在频域移动N/2。利用DFT的平移性质 ，先把原图像f(x,y)乘以(-1)(x+y)然后再进行傅里叶变换， 其结果谱就是移N/2的F(u,v)。图4-8所示。应当注意，显示是为了观看，而实际F(u,v)数据仍保留 为原来的值。 *4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换26*图4.8 频谱
11、图像的移中显示 (a)未移至中心的 频谱图像，(b)移至中心后的频谱图像(a)(b )4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换273.旋转性应用中，对两幅图像进行傅里叶变换后，为求两幅图 像的相似性，常须对频域图进行旋转寻找匹配。此时FT公 式常用极坐标表示为傅里叶变换对。设f(x,y)为原图中任 一点的坐标， ，为(x,y)点与x轴的夹角 ，则傅里叶变换对为：*若空域 频域 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换28则旋转不变性质为： *上式表明，在空域中对图像f(x,y)旋转0对应于将其傅里 叶变换F(u,v)也旋转0，类似的，对F(u,v)旋转0也对应 于将其傅
12、里叶反变换f(x,y)旋转0。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换29*(a )(b ) 图4.9 傅里叶变换的旋转性，对比图4.84.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换30*4. 4. 数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子
13、进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换31*图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换32*图4.11 频率位移示例4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换33*图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而 且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在 数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆 变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达 到数
14、据压缩的目的。 2）图像傅里叶变换的统计分布（1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分 量，根据傅里叶变换公式有： 它反映了原始图像的平均亮度。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换34*（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中了85的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据，如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换
