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1、主要内容主要内容矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式第三节第三节 矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的行列式与秩矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩一、矩阵乘积的行列式一、矩阵乘积的行列式定理定理 1 1 设设 A A，B B 是数域是数域 P P 上的两个上的两个 n n n n 矩矩阵，那么阵，那么| | ABAB | = | | = | A A | | | | B B | | ， (1)即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘证明证明这个定理就是第二章第八节的积积. .用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的情形，即有推论推论 1 1 设设A A1 1, , A
2、 A2 2, , , , A Amm是数域是数域 P P 上的上的 n n n n矩阵，于是矩阵，于是 | A A1 1A A2 2 A Amm | = | A A1 1| | A A2 2| | A Amm | .定义定义 9 9 数域数域 P P 上的上的 n n n n 矩阵矩阵 A A 称为称为非退非退化的化的，如果，如果 | | A A | | 0 0；否则称为否则称为退化的退化的. .显然，一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件是它的秩等于 n .推论推论 2 2 设设 A A，B B 是数域是数域 P P 上的上的 n n n n 矩阵矩阵, ,矩阵矩阵 ABAB 为退化的充分必
3、要条件是为退化的充分必要条件是 A A，B B 中至少有中至少有一个是退化的一个是退化的. .二、矩阵乘积的秩二、矩阵乘积的秩关于矩阵乘积的秩，我们有：定理定理 2 2 设设 A A 是数域是数域 P P 上的上的 n n m m 矩阵，矩阵，B B 是是数域数域 P P 上的上的 mm s s 矩阵，于是矩阵，于是秩秩( ( ABAB ) ) min min 秩秩( ( A A ) , ) , 秩秩( ( B B ) . ) .即乘积的秩不超过各因子的秩即乘积的秩不超过各因子的秩. .(2)证明证明为了证明 (2)，只需要证明秩( AB ) 秩( A ) 与 秩( AB ) 秩( B )同时
4、成立即可.现在来分别证明这两个不等式.设令 B1 , B2 , , Bm 表示 B 的行向量，C1 , C2 , , Cn表示 AB 的行向量.由计算可知，Ci 的第 j 个分量和 ai1B1 + ai2B2 + + aimBm 的第 j 个分量都等于因而Ci = ai1B1 + ai2B2 + + aimBm (i = 1,2, , n),即矩阵 AB 的行向量组 C1 , C2 , Cn 可经 B 的行向量组线性表出. 所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即秩( AB ) 秩( B ) .同样，令 A1 , A2 , , Am 表示 A 的列向量，D1 , D2 , Ds 表示 AB 的列
5、向量. 由计算可知，Di = b1iA1 + b2iA2 + + bmi Am (i = 1,2, , s).这个式子表明，矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩( AB ) 秩( A ) .证毕证毕用数学归纳法，定理 2 不难推广到多个因子的情形，即有推论推论 3 3 如果如果 A A = = A A1 1 A A2 2 A At t, , 那么那么秩秩( ( A A ) ) 秩秩( ( A Aj j) . ) .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已
6、结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课,
7、, 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容已结束 ! ! 若想结束本堂课若想结束本堂课, , 请单击返回按钮请单击返回按钮. .本节内容已结束本节内容
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