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1、复合函数的导数一、复习与引入：1. 函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.二、新课复合函数的导数：1.复合函数的概念: 对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f (x) 是自变量x的复
2、合函数.2.复合函数的导数: 设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 ,则复合函数 在点x处也有导数,且 或记 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 从而 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.在书写时不要把 写成 ,两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 的求导. 3.复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,
3、明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:解:设y=u5,u=2x+1,则:解:设y=u-4,u=1-3x,则:解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;解:(3)y=tan3x;解:(2)解:(4)解:(5):y=sin2(2x+/3)法一 :法二:练习1:
4、求下列函数的导数: 答案 :例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=10cm时,圆面积增加的速度. 解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.又圆面积S=R2,所以 =40(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于x轴,并求此切线的方程. 解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率把x0=0代入曲线方程得:y0=1.所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐
5、标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切线互相垂直. 由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=72得因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.例6:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)解: 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函 数为偶函数”.现在我
6、们利用复合函数的导数重新加以证 明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: ,故 为奇函数. 同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数 的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).两边同时对x求导得: 即也是以T为周期的周期函数.例7:求函数 的导数.说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用定义来讨论分段点的可导性.解:当x1时, .又 ,故f(x)在x=1处连续.而从而f(x)在x=1处不可
7、导.四、小结：利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的 复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变 量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.在上面的例子中涉及到了二次曲线在某点的切线 问题,但在上面的解法中回避了点在第二、三、四象限 的情况.可能有同学会提出对于二次曲线在任意点的切 线怎样求的问题,由于它涉及到隐函数的求导问题.我们 不便去过多的去研究.下面举一个例子使同学
8、们了解一下求一般曲线在任 意点的切线的方法.(说明:这个内容不属于考查范围.)例子:求椭圆 在点 处的切线方程.解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x的函数)得:于是所求切线方程为:备用利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(2)过椭圆 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:(4)过抛物线y2=2px上一点P0(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0).(3)过双曲线 上一点P0(x0,y0)的切线方程是:证:设x有增量x,则对应的u,y分别有增量u, y.因为 在点x处可导,所以 在点x处连续. 因此当x 0时, u 0.当u0时,由 ,且 得:当u=0时,公式也成立.上面的证明其实不是一个很严格的证明,而且中间 还会有不少的疑问,譬如, u=0时公式也成立, 怎样去理 解;x 0时与u 0时的极限相等问题等等.因此同学 们只要了解公式证明中的基本思想和方法即可,不必过 多的去深究证明的过程.因为事实上,还有更严格的证明.报钟器 报钟王 http:/ pjq141gfn
