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1、PABCD证明:三垂线定理及逆定理的应用例一：判断下列命题是否正确（）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线 必垂直于斜线在平面上的射影。( )（）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平 行。( )（ 3 ）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平 面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在平面上的 射影互相垂直。( ) 错误正确正确ABDCCABD1111例二：在正方体 中：猜想 和 具有什么特殊的位置关系？能否找到与 具 有这种关系的其他面对角线吗？并简要证明。 证明：变题: 是 上一动点，在平面 上能否作一条过点 的线段与 垂直 ？是面 内一点，在平面 上能否作一条过点 的线段
2、与 垂直？ ABCABCD1D111P.F分析：第一问：显见 过点 作 的平行线即可。第 二问：找到 在面内的射影 ， 过点 作射影的垂线段即可。 .E OAPBCD例三：.E OAPBCDFNMPABCD.E练习：已知，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：MN ABABDCCABD1111 .PO思考：在正方体 中， 是 的中点， 为底面 的中心。求证：分析： 与 异面， 、 既可为平面的斜线，也可为平面内 直线。关键在于平面的选择 ,射影的 确定。方法一：以 为平面，则 是平面的斜线， 是平面内直线。 由条件可知： 平面 ， 则 为 在平面 内的 射影。根据三
3、垂线定理，问题转化为 证明 即可。ABDCCABD1111 .PO M方法二：以 为平面， 是平面的斜线， 是平面内直线。 由条件可知： 平面 ， 则 是 在平面内的射影，再构造 出 平面 ，找到 在平 面内的射影 。因此 是 在 平面 内的射影，问题转化 为证明 即可。1、不同平面的选择，不同射影的确定，使图形中构造“一面四线”有难有易。2 、在空间的任一平面内，平几的公理、定理仍然成立。在解证立几问题时，灵 活运用平几知识是十分重要的。例一：在下列三个命题中，为真命题的共有（ ）1、如果一条直线和一条斜线在这个平面内的射影垂直，则 这条直线和这条斜线垂直2、如果一条直线和一条斜线垂直，那么
4、这条直线和斜线在 这个平面内的射影垂直 3、如果一条直线和一条斜线垂直，也和这条斜线在这个平 面内的射影垂直，那么 这条直线在平面内，或者和平面平行A.O个 B.1个C. 2个 D.3个B判断命题的真假，应严格按照三垂线定理及逆定理。ABC EF( )A引入：道路旁有一条河，河对岸有一嘹望塔，高10米。利用测角仪 和皮尺，设计一个合理的方案测出塔顶与道路的距离。ABlCD分析：将道路、塔、河岸抽象为线段或直线。塔 顶与道路的距离是点A到L的垂线段长，关键是垂 足的确定。假设AC是距离，连结BC，由三垂线 定理的逆定理：BC l。因此要确定垂足C，用测 角仪测定BC l 即可。问题转化为在Rt
5、ABC中求 AC.利用工具构造Rt BCD，求出BC，即得AC.ABCDO例二：四面体 中， ， 求证：当题中具备了（构造后具备了）定理所需条件“一面四线”可用定理解题。三垂线定理证明异面垂直，逆定理证明共面垂直。分析：AD、BC是两条异面直线。即证两条异面 直线垂直。根据三垂线定理，只需证明AD在平面 BCD内的射影和BC垂直。因此可作AO 平面 BCD于O点，问题转化为证明OD BC。连结BO 、CO，根据三垂线定理的逆定理可证：BO CD，CO BD，确定O是 BCD的垂心，则OD BC得以解决。 三垂线：反映了“一面四线”的三种垂直关系 （垂线和平面、平面内的直线和平面的斜线 、平面内的直线和射影）实质：平面的一条斜线或其射影与平面内的 一条直线垂直的判定定理。应用：解决垂直问题和空间图形的度量问题 。
