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第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理12一、罗尔(Rolle)定理例如,3点击图片任意处播放暂停物理解释:变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.几何解释:4证56注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.例如,7例1证由零点定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,89设 在0, 上连续,在(0, )内可导,证明至 少存在一点(0, ),使得 =证明 : 只要证明 由罗尔定理,至少存在一点 10求证：存在使设 可导，且在连续，证：因此至少存在则在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得例411121314二、拉格朗日(Lagrange)中值定理15几何解释:证分析:弦AB方程为16作辅助函数拉格朗日中值公式注意:1、17拉格朗日中值定理又称有限增量定理.18证: 在I上任取两点定理3在 上用拉格 朗日中值公式 , 得由 的任意性知, 在 I 上为常数19例6证20例7证由上式得212223证明对任意 证明： 不妨设 因为 24三、柯西(Cauchy)中值定理25几何解释:证 作辅助函数2627例11证分析:结论可变形为2829
