空间中直线与直线的位置关系

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(一) 问题1：在平面几何中， 两直线的位置关 系如何？一.课题引入 问题2：空间中没有公共点的直线一定平 行吗？ 问题3：没有公共点的两直线一定在同一 平面内吗？P49观察长方体1.1.定义定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面二.新课讲解:2. 异面直线的画法:Abababa练习:两条异面直线指：A、空间中不相交的两条直线； B、某平面内的一条直线和这平面外的直线； C、分别在不同平面内的两条直线； D、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线； F、空

2、间没有公共点的两条直线 G、既不相交，又不平行的两条直线 不同在任一平面内的两条直线既不相交，又不平行的两条直线3 3、异面直线的判定定理、异面直线的判定定理l连接平面内一点与平面外一点的直线 ，和这个平面内不经过该点的直线是 异面直线.ABb判定异面直线的推理模式例1 如图，已知直线MN,PQ 是异面直线求证：MP和 NQ是异面直线思考：如果直线 是异面直线，直线 与直线 分别相交， 则直线 与直线 也异面吗？多样性反正法4.空间两直线平行的判定公理 公理4、平行于 同一条直线的两 直线互相平行。若 a/b,c/b则 a/c.空间平行线的传递性4. 空间四边形(1)概念: 顺次连接不共面的四

3、点A、B、C、D，所组成的四边形。(2) 空间四边形的对角线：AC、BD.ACDB例2 已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的 四边形叫做空间四边形），E、F,G,H分别是AB、BC、CD 、DA的中点，求证:四边形EFGH是平行四边形.CABDEFGH探究:在加上条件AC=BD,那么四边形EFGH为 什么图形?练习 如图 ，是平面外的一点分别是 的重心，求证：AD BMNHGC证明：连结分别交 于连结分别是的重心，分别是的中点，又，由公理4知4.定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补。1空间两直线平行是指它们（ ）A无交点 B共面且无交点C和同一条直线垂直

4、D以上都不对练习2在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行,并且方向相同,则这两个角（ ）A相等 B互补C相等或互补 D既不相等也不互补3一条直线与两条平行线中的一条是异面直线 ，那么它与另一条的位置关系是（ ）A相交 B异面C平行 D相交或异面BAD4如图， 是长方体的一条棱，这个长方体 中与 异面的棱共有（ ） A3条 B4条 C5条 D6条B一、复习回顾一、复习回顾 1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系有且只有三种有且只有三种 从有无公共点的角度看：从有无公共点的角度看：有且仅有一个公共点的有且仅有一个公共点的-相交直线相交直线在同一平面内的在同一平面内的-相

5、交直线相交直线平行直线平行直线从是否共面的角度看：从是否共面的角度看：没有公共点的没有公共点的-平行直线平行直线 异面直线异面直线不同在不同在任何任何一平面内的一平面内的-异面直线异面直线2.1.2.2异面直线及其所成的角2 2、公理、公理4 4平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行证明证明线线平行线线平行的推理模式：的推理模式：acbcab3 3、等角定理、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边如果一个角的两边和另一个角的两边分别分别 平行平行并且并且方向相同方向相同，那么这两个角相等，那么这两个角相等. .如果两条相交直线和另两条相交直线如果两条相交直线和另

6、两条相交直线分别平行分别平行， 那么这两组直线所成的那么这两组直线所成的锐角（或直角）锐角（或直角）相等相等. .A DEA DE推论：推论：新课：异面直线所成的角已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作直线a a，b b，把a与b所成的锐角( 或直角)叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).baO如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 线互相垂直.记为例例1 1在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，哪些棱所在直线与直线A1B 是异面直线？“垂直”包括“相交垂直” 和“异面垂直”哪些棱所在直线与直线CC1垂直？A1ABB1CDC1D1应用举例应用举例A1B与CC1所成的角是

7、多少度？A1B1与CC1所成的角是多少度？例2在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各组异面直线所成的角 1) A1B与B1CA1ABB1CDC1D1点评：一般步骤 1) *取点O，平移成两条相交直线 2)认定“相交直线和所 成的锐角或直角就是所求 异面直线和所成的角” 3) *构造三角形，并在这个三角形中求角4)下结论应用举例应用举例二.巩固提高例2在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各组异面直线所成的角的余弦值 2) AE与BF(E,F分别是所在棱的中点)A1ABB1CDC1D1点评： *点O常取在两条异面直线 其中一条上，或者取几何 体中有特殊性的点

8、（如线 段的端点、中点或其他分 点等）EFG例2在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各组异面直线所成的角的余弦值 2) AE与BF(E,F分别是所在棱的中点)A1ABB1CDC1D1点评： *在三角形内求角多用余 弦定理，同时要关注三 角形的特征以简化运算 EF*当求得的角是钝角时，应取其补角作为 异面直线所成的角异面直线所成的角应用举例应用举例例2 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各组异面直线所成的角 3) 体对角线BD1与面对角线ACA1ABB1CDC1D1点评： *平移方法： 1)借助于平行四边形平移 2)借助于三角形的中位线 平移 *平移形式

9、： 1)平移一条、平移两条 2)形内平移、形外平移OE应用举例应用举例A1B1C1D1ABCDE1F1EF例3在棱长为a的正四面体A-BCD中， E,F分别是所在棱的中点 求下列各组异面直线所成的角2)AE和CFABCDEF1)对棱AB与CDOK应用举例应用举例作业:补充:1.E,F分别是空间四边形ABCD边AB,CD的 中点,且EF=5,BC=6,AD=8,求异面直线AD与EF所 成角的余弦值?CBADEF2.已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,E为AD的中点,F为BC的中点,(1)求异面直线BE和直线AC所成角的余弦值3.长方体ABCD-A BC D中, AB=BC=4, AA =6, (1)E、F分别为BB 、CC的中点, 求AE、BF所成角的余弦值(2)求BD与AC所成角的余弦值四、小结：空间二直线的位置关系（平行、相交、异面）平行公理，等角定理.五.作业P51 A 3、4（做在书上）做在作业本上： P51 A组 6 P78A组 4，5 补充作业:已知四边形ABCD是空间四 边形，E、H分别是AB、AD的中点， F、G分别是边CB、CD上的点，且求证：四边形EFGH是梯形。AD GFHEBC