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1、第五章 相似矩阵及二次型方阵的特征值与特征向量方阵的相似对角化二次型化标准形向量的内积 长度 正交性第五章 相似矩阵及二次型向量的内积正交矩阵第一节 向量的内积 长度 正交性1、向量内积的概念定义1 设=(a1, a2, an)T，=(b1, b2, bn)TRn ,称为向量与的内积，记作，.一、向量的内积 ，=注 由矩阵乘法的定义，显然有， =T.内积的运算律（其中， R n，k R）：（1） ， = ，；（2） k， = k ，；（3） +，= ， + ，；（4）， ，且 ， =0 = .向量长度的性质1.非负性 0，且=0 = ；用定义 证明。用Schwarz不等式 证明。3. 三角不等
2、式 +.2. 齐次性 =|；|= = ,定义2 设 R n，令称|为向量的长度(或范数),称长度为1的向量为单位向量.2、向量的长度向量的内积满足 , 2 , , ， 即 |, |. Schwarz不等式 根据Schwarz不等式，对任 何非零向量，总有定义 当 ， 时， 称为n维向量与的夹角，记为().说明 当, =0时，称向量与正交. 显然，零向量与任意向量正交。3、向量的夹角向量的内积满足 , 2 , , ， 即 |, |. Schwarz不等式 定义 一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为规范正交向量组. 正交向量组的性质正交向量组是线性无关的. 证
3、设1，2，m是正交向量组，并有一组数使k11 + k22 + + kmm= . 用i（i=1，2，m）对上式的两边做内积，得k11, i + k22, i + + kmm, i= 因1, 2, , m两两正交, 所以i, j= ( )，故 kii，i=0，（i=1，2，m）因i ，所以i，i0，故ki =0（i=1，2，m）.于 是向量组1，2，m线性无关. 4、规范正交向量组验证向量组为R4的一个规范正交基 .定义3 设1，2，m是向量空间V的一个基.且两两正交 说明1）自然基e1，e2，en是规范正交基. 2）向量空间V的一个基1，2，m是规范正交基 的充要条件是i，j= 则称1，2，m是
4、V的一个正交基；又都是单位向量，则称1，2，m是V的一个规范正交基.如果1，2，m3）向量空间V的任意向量 ，在V中的一个规范正交基1，2，m下的坐标为ki=i，i=1，2，m.一个向量在规范正交基下的坐标很易求得，其第i个分量即为这个向量与规范正交基的第i个向量的内积。 印象问题 给出向量空间V的任意一个基1，2，m，是否可由它得到V的一个规范正交基呢？令 1=1，2 =2- 1 ， 3 =3- 1 - 2， ， r =r- 1 - 2 - - r-1. (2) 将1，2，r单位化，令 1= ，2= ， r= .则1,2, , r是与1, 2, , r等价的规范正交向量组.施密特(Schmi
5、dt)正交化方法 (1) 将线性无关的向量组1，2，r正交化. 例1 已知R 3中的一组基为解 利用施密特正交化方法:1)先将1，2， 3正交化：令 1=1=(1,1,1)T， 2 =2- 1 3 =3- 1 - 2 1，2， 3为与1，2， 3等价的向量组.求R 3的一个与基1，2， 3等价的规范正交基。2)将1，2， 3单位化，便得与1，2， 3等价的规范正交基为-2例2.解把基础解系正交化，即合所求亦即取 我们知道有限个n维向量组可构成一个矩阵，那么R n中的一个规范正交基所构成的矩阵有什么特点呢？ 观察R 4中的规范正交向量组构成的矩阵A=AT A= =E正交矩阵定义4 如果n阶实方阵
6、A满足ATA= E，则称A为正交矩阵 .二、正交矩阵为正交矩阵的充要条件是 的列（行）向量都是 单位向量且两两正交定理设则(1) A的行列式为+1或-1. 正交矩阵的性质(2) A可逆，且A-1=AT .(3) A-1及AT也是正交矩阵. (1) 对任意n维列向量x，Ax保持向量x的长度.即Ax=x.(2) 对任意n维列向量x和y，Ax和Ay保持x和y的内积，即Ax, Ay = x, y.正交变换的性质定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换(4) 若A和B都是正交阵,则AB也是正交矩阵. 规范正交基将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化三、小结1向量
7、的内积 长度 夹角正交矩阵及其性质 第二节 方阵的特征值与特征向量特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质第五章 相似矩阵及二次型举例1、设A是单位矩阵E, 对任意的非零向量x,都有 这里 .2、设则对于向量有即而对于另一向量从例子可看到，对于给定的n阶方阵A在n维空间中有些向量x ，有Ax与x平行这个性质，而有些向量则没有这个性质. 把 有这样性质的向量称为特征向量.有一、特征值与特征向量定义6 设A是 n 阶方阵，如果存在数和 n 维非零列向量x， 使关系式成立,那么,称 为方阵A 的特征值,非零向量 x 称为A的对应 于特征值 的特征向量.如上例中(1)-特征值问题是对方阵而言的,特
8、征向量一定是非零向量.注：(2)-若x是矩阵A的对应于特征值 的特征向量,则非零向量kx也是矩阵A的对应于特征值 的特征向量,特征值 的特征向量不唯一.例证明：是矩阵A的对应于特征值 的线性无关的特征向量.对任意不全为零的数A的对应于特征值 的特征向量 .都是矩阵证明由已知所以 都是矩阵A的对应于特征值 的特征向量 . 1、称为方阵A的特征矩阵. 称为A的特征方程. 2、 3、vA的特征值就是特征方程 的根,A的对应于特征值 的特征向量就是齐次线性方程组 的非零解向量. 用克拉默法则,齐次线性方程组(A-E)x=0有非零解的充 要条件是系数矩阵的行列式等于零.即称为方阵的 特征多项式 .二、方
9、阵A的特征值、特征向量的求法这是n个未知数n 个方程的齐次线 性方程组.由定义可推出n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(A- E)x=0有非零解的 值.解A的特征多项式为所以A的特征值为例当 时, 得基础解系 线性无关特征向 量的个数为1一重特征值的特征值和特征向量.求矩阵所以对应于 的特征向量为 ( 0).解方程(A-E)x=0 由当 时, 解方程组(A+2E)x=0,由A+2E =得基础解系 所以对应于 的特征向量为不同时为零线性无关 特征向量 的个数为2二重特征值例求矩阵 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为所以A的特征值为当 时得基础解系 所以对应于 的特征向量为一重特征值线性无关特征向 量的个数为1当 时 AE=得基础解系 所以 对应于 的特征向量为 .线性无关特 征向量的最 大个数为1也是二 重特征 值说明 1.对于给定的方阵A,可以有几个不同的特征值,属于同 一个特征值的特征向量有无穷多个！2.属于某一特征值的线性无关特征向量的最大个数不 一定等于它的重数，但不管有几个都没有超过它的重数.四、小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：预习本节剩余内容 及第三节
