《离散数学第三章 命题逻辑的推理理论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学第三章 命题逻辑的推理理论（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、主要内容 推理的形式结构 l 推理的正确与错误 l 推理的形式结构 l 判断推理正确的方法 l 推理定律自然推理系统Pl 形式系统的定义与分类 l 自然推理系统P l 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法第三章 命题逻辑的推理理论13.1 推理的形式结构定义3.1 设A1, A2, , Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2 Ak 为假，或当A1A2Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, , Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论.定理3.1 由命题公式A1, A2, , Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2AkB为重言式注意: 推理正
2、确不能保证结论一定正确2推理的形式结构2. A1A2AkB若推理正确, 记为A1 A2 Ak B 3. 前提： A1, A2, , Ak结论： B 判断推理是否正确的方法:真值表法等值演算法主析取范式法推理的形式结构 1. A1, A2, , Ak B若推理正确, 记为A1,A2,An B3推理实例例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq用等值演算法(pq)pq (pq)p)q p
3、qq 1由定理3.1可知推理正确4推理实例(2) 推理的形式结构:(pq)qp用主析取范式法(pq)qp (pq)qp (pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确5推理定律重言蕴涵式1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难(AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式)
4、 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA 63.2 自然推理系统P定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成：(1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I).(3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I).(4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=, 其中是 I 的形式语言 系统, 是 I 的形式演算系统.形式系统一般分为两类： 自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理7自然推理系统P定
5、义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表(1) 命题变项符号：p, q, r, , pi, qi, ri, (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则: (1)(12)(1) 前提引入规则:在证明的任何步骤都可以引入前提.(2) 结论引入规则:在证明的任何步骤所得的结论都有可以 作为后继证明的前提.(3) 置换规则:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可 以用等值的公式置换,得到公式序列中又一个公式.8推理规则 (4) 假言推理规则(6) 化简规则(8) 假言三段论规则ABA BA ABAB A(5) 附
6、加规则(7) 拒取式规则(9) 析取三段论规则ABB AABBC ACABB A 9推理规则(10) 构造性二难推理规则 (11) 破坏性二难推理规则(12) 合取引入规则ABCDAC BDABCDBD ACAB AC10在自然推理系统P中构造证明设前提A1, A2, Ak,结论B及公式序列C1, C2, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2, Ak推 出B的证明例2 构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期四，我明天就有课. 若我明天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星
7、期一、也不是星期四. 解 (1) 设命题并符号化 设 p：明天是星期一，q：明天是星期四，r：我明天有课，s：我今天备课11直接证明法(2) 写出证明的形式结构前提：(pq)r, rs, s结论：pq (3) 证明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置换12附加前提证明法附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式 欲证前提：A1, A2, , Ak结论：CB等价地证明前提：A1, A2, , Ak, C结论：B理由：(A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B 13附加前提证明法实例例3 构造下
8、面推理的证明2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理 数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明(1) 设 p：2是素数，q：2是合数，r： 是无理数，s：4是素数(2) 推理的形式结构前提：pq, pr, rs结论：sq 14附加前提证明法实例(3) 证明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段论 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段论15归谬法（反证法） 归谬法 (反证法)欲证前提：A1, A2, , Ak 结论：B做法在前提中加入B，推出矛盾.理由A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB)
9、(A1A2AkB)0 A1A2AkB0 16归谬法实例 例4 前提：(pq)r, rs, s, p 结论：q证明 用归缪法 q 结论否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 析取三段论 pq 置换 p 析取三段论 p 前提引入pp 合取 17第三章 小结 主要内容 l 推理的形式结构 l 判断推理是否正确的方法真值表法 等值演算法主析取范式法 l 推理定律 l 自然推理系统Pl 构造推理证明的方法直接证明法附加前提证明法归谬法(反证法) 18基本要求l 理解并记住推理形式结构的两种形式：1. (A1A2Ak)B2. 前提：A1, A2, , Ak 结论
10、：Bl 熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等 值演算法、主析取范式法等） l 牢记 P 系统中各条推理规则l 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬 法 l 会解决实际中的简单推理问题19练习1：判断推理是否正确1. 判断下面推理是否正确:(1) 前提：pq, q结论：p 解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法(pq)qp (pq)q)p (pq)qp (pq)(qq)p pq易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 20练习1解答方法二：主析取范式法，(pq)qp(pq)q)ppqM2m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.21练
11、习1解答方法三 真值值表法不是重言式, 推理不正确 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 (pq)qp q p p q 0 1 1 1 (pq) q 0 0 1 0方法四 直接观观察出10是成假赋值赋值22练习1解答用等值演算法(qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) 1推理正确(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 23练习2：构造证明2. 在系统P中构造下面推理的证明：如果今天是星期六，我们就到颐和园或圆明园去玩. 如果 颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩. 今天是星期六.颐 和园游人太多. 所以, 我们去圆明园或动物园玩. 证明：(1) 设 p：今天是周六，q：到颐和园玩，r：到圆明园玩，s：颐和园游人太多t：到动物园玩(2) 前提：p(qr), sq, p, s结论：rt24练习2解答(3) 证明： p(qr) 前提引入 p 前提引入 qr 假言推理 sq 前提引入 s
