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1、 非齐次线性方程组 其中令则方程组（*）可表为 结论：方程组（*）有解 可由 线性表出 秩 = 秩 秩(A) = 秩( )，这里 = A , b 定理 非齐次线性方程组 有解的充分必 要条件是 秩 = 秩( ) 推论 当非齐次线性方程组 有解时，解无穷多的充分必要条件是秩(A) A的列数 = 未知数个数 非齐次方程组（*）：AX = b齐次方程组（*）：AX = 0 称（*）为（*）的导出方程组。性质 (1) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任意两个解向量，则 是其导出方程AX=0的解向量； (2) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任一个解向量， 是其导出方程组 AX = 0的任一
2、个解向量，则 是 AX = b的解向量。 定理 设非齐次线性方程组 AX = b有无穷多个解，则其一般解为 其中 是 AX = b的一个特解， 是导出方程组 AX = 0的一个基础解系， 是 t个任意常数。 例 求下列方程组的一般解解 考虑方程组 一般解为例 已知非齐次方程组的两个解 ，求其一般解。解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵 A的秩小于等于2。 又A的前两行线性无关，说明 A 的秩大于等于2。由此得 秩(A) = 2。 于是，原方程组 的导出方程组 AX = 0的基础解系含 3-2=1个解。可取作为导出方程组的基础解系，取 作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为思考题 设
3、 AX=0是非齐次线性方程组 AX=b的导出方程组，问 （1）AX = 0有非零解 AX = b有无穷多解？ （2）AX = b有唯一解 AX = 0只有零解？ 小结：1. 求线性表出2. 判别线性相关性 3. 求向量组的秩与极大无关组 4. 求矩阵的秩 5. 求齐次线性方程组的基础解系 6. 非齐次线性方程组解的结构例 证明：若向量组 线性相关，则向 量组 也线性相关。 证明 因为 可由 线性表 出，所以秩 秩 已知 线性相关，故有秩 n于是，秩 n 由此可得 线性相关。 例 证明：若向量组 线性无关，则向量组 当 n为奇数时线性无关，当 n为偶数时线性相关。证明 令 ，则因 线性无关，故
4、（1） 讨论此齐次方程组有无非零解：取其系数矩阵对 A顺序做初等行变换当 n为奇数时，A可化为 此时，齐次方程组（1）只有零解，故有 于是， 线性无关。当 n为偶数时，A可化为 此时，齐次方程组（1）有非零解，故 线性相关。 证证明： 线性无关。例 设设 是非齐齐次线线性方程组组 的一个特解， 是导导出方程组组 的一组组基础础解系。令证明 令 则（1） 由此得因为 ，故 （2） 于是由 式(1) 得 已知 是基础解系，它们线性无 关，故 再由 式(2)得 。所以, 线性无关。 例 设 （1）证明：若 AY = b有解，则 的任一组解也是 的解； （2）证明：AY = b有解 无解，其中O是 零
5、矩阵。证明 （1）设 AY = b有解，则存在一个 ，使 。于是， 。 任取 的一个解 ，则 。 因 故 是 的解。 （2） 设 有解，则有因故 由此得 设 ，则 又故 由此得 所以，方程组 AY = b有解。 例 已知四元齐次线性方程组 （I） 与四元齐次线性方程组（II）的一般解 问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全 部公共解。解 （法一）易得方程组（I）的一般解为 设 是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数使 即因向量组 线性相关，故存在不全为零的 ，使上式成立。由此可知，方程组(I) 与 (II)有非零公解 。由上式可得解得其一般解为于是，方程组（I）与（II）的全部
6、公共解为 （法二） 因方程组（II）的一般解为 代入方程组（I）有由此得所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为 例 考虑方程组(I) (II) 在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。讨论 首先方程组(I)的理论解为 方程组(II)的理论解为 1. 把 舍入为 1.01，得 的解为的解为 2. 把 1.015舍入为 1.02，得的解为 的解为 上述讨论可得，方程组()的系数的一个极小变 化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而 方程组()则无此现象，相应称之为良态的。 例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户 有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人 是水管工。三家约定合
7、作修理他们的住房。他们共同 制订了一个修理计划： 每户出一人，工作十天，并且每人工作一天应由 三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日 程表如下 出于可以理解的原因，这三户要求满足如下的平衡条件：“每户在十天内的总支出=其总收入” 若规定每个工人的日工资在68元间浮动，则我 们的问题是，如何确定每个工人的日工资数额，以使 上述修理计划得以实现。 解 设 分别表示木工、电工、水管工的日工资，则平衡条件可以表示为 整理并写成矩阵形式，得 所以， 是齐次线性方程组的解。不难求出上述方程组的一般解为 这里，k是任意常数。 根据事先规定的工资浮动范围，可取 k=0.2。由此得木工、电工、水管工的日
8、工资分别为 6.2元，6.4元，7.2元。 这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人的产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人的总产出等于其所获得的总收入。显然，这三个工人在这天就构成了一个自给自足式的经济系统。下面考虑一般情况。假设有一个经济系统由k个企业构成，顺序给这些企业标号为第1，第2，第k个企业。在一个固定时间周期内，每个企业都能产出或提供可被整个系统完全利用的某种商品或服务（产出量是确定的）。一
9、个重要问题是如何确定这 k个企业产出的价格，以使每个企业的总产出等于其总收入。这样的价格结构反映出该经济系统处于一个自我平衡的状态。 在固定时间周期内，令 第 i 个企业关于其总产出的报价 第 j 个企业被第i个企业购买的那部分 产出在其总产出中的比值， 根据上述定义，得 称 P为价格向量，A为交易矩阵。则该经济系统的 平衡状态可公式化为 或上式为一个关于向量P的齐次线性方程组。它有非零解 令因为交易矩阵A的每列元素的和均为1，故可知所以，方程组 总有非零解。但是，我们还必须要求价格向量的每个分量均非负（当一个向量 P或矩阵A的元素均非负时，记 或 ），对此，我们有 定理 若A是一个交易矩阵，那么齐次线性方程组 必有一个分量均非负的非零解P。例 设 则平衡条件 即为 它有一般解 这里k是任意常数。显然，只要取 ，则可得非负解 。
