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1、数学建模与数学实验Date数学建模第一章 数学建模概述1.1数学模型概念 1.2数学模型的特点 1.3数学模型的分类 1.4建模示例Date数学建模课程学习的重要性 科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用； 数学建模教育有利于学生解决实际问题的综合能力的 提高； 我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分 析都可用简捷数学方法完美的解决。 熟悉数学知识与方法的应用Date数学建模如何挑西瓜Date数学建模 某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？ Date数学建模交
2、通事故调查一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里。交警立即赶到事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？Date数学建模目标与定位 架起数学与实际问题的桥梁，学习初步的用数学解决 实际问题的一般步骤与方法 体验创造性地解决问题的基本过程 学习如何分析问题与研究问题 培养团体协作精神Date数学建模 血药浓度与周期性服药问题 饮酒驾车问题 最优的渡河策略 分类问题 设备的预防性维修 最优的彩票方案 网路在线租
3、赁 优化的排课问题 卫星测控Date数学建模1.1数学模型概念l原型 指人们在现实世界里所研究或从事生产管理的 实际对象。 l 比如：机械系统、电力系统、生态系统、化学反应系统 污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。模型 指人们为了某个特定的目的而将原型的某些信息精 简压缩,加以提炼而构造的原型的替代物。需要强调的是,模 型不是原型的原封不动的复制,它实际上只是原型某些方面和 某些层次的近似表示。Date数学建模模型分类直观模型 通常指实物模型,以及玩具、照片等,主要追求外观上的逼真,这类模型的效果是一目了然的。物理模型 通常指科技工作者为了某些目的，根据相似原理构造的模型,它不仅可以显
4、示原型的外形或某些特征,而且可以用以进行摸拟实验,间接地研究原型的某些规律。比如风洞中的飞机模型用来实验飞机在气流中的空气动力学特性等。Date数学建模思维模型 通常指人们对原型的反复认识,将获取的知识以经 验的形式直接存于大脑中,从而可以根据思维或者直觉作 出相应的决策。符号模型 指在一些约定或假设下借助专门的符号、线条等,按照一定形式组合起来的原型的描述，比如地图、电路图等数学模型 用数学的语言和工具,对原型的信息(现象数 据图表等)加以翻译、归纳所形成的公式、图表等。Date数学建模什么是数学建模?数学实验？数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等
5、处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学实验指利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将数学问题在计算机上加以实现。Date数学建模与数学模型相关的技术主要指计算机模拟。根据实际系统或过程的特征，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状态，并依据大量的模拟结果对系统或过程进行定量分析。它是解决实际问题的有效手段。 模拟 Date数学建模数学实验 指利用计算机技术，选择合适的数学软件和算法将数学问题在计算机上加以实现。Date数学建模本课程涉及的内容 数学建模 数学实验 不涉及模拟Date数学建模建立数学模型的一般方法 机理
6、分析是指人们根据客观事物的特征,分析其内部机理,弄清其因 果关系,并在适当的简化假设下,利用合理的数学工具得到 描述事物特征的数学模型。 统计分析是指人们一时得不到事物的机理特征,便通过测试得到一系列数据,再利用数理统计等知识,对这些数据进行处理,从而得到最终的数学模型。Date数学建模数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模 型 准 备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个 比较清晰 的问题Date数学建模模 型 假 设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模 型 建 立用数学的语言、符号描述问题发挥想象力使
7、用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤Date数学建模模型 求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析模型 分析模型 检验与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤Date数学建模几个过程简介 了解问题的实际背景 明确建模的目的 搜集建模必需的各种信息 初步确定用哪一类模型。l模型准备Date数学建模 模型准备过程是非常必要的, 这一步骤往往是建模过程中最困难、 最费时费力的, 需要查阅大量的资料, 需要请教专家,而且要求自己应具有相 当的实际经验Date数学建模l模型假设一般无法将实际对象的所有影响因素都考
8、虑到模型中,这就需要对问题进行必要的简化。通过假设,精确地描述各种影响因素的关系。Date数学建模假设包含两方面的内容（1）有选择地忽略一些影响因素,这种忽略主要基于两个方面的考虑:（i）该变量与其它变量相比,对实际问题行为特征的影响较小；（ii）对于那些在各种条件下,对实际问题行为特征的影响虽然比较大,但是影响程度的变化基本上是不变的。Date数学建模(2) 确定所选变量的关系有些变量间的关系是明确的,我们勿需对此作假设或简化,有些变量间的关系是模糊的,对此类变量,为明确其关系,我们可以对它再作进一步的假设或简化,甚至为了研究这些变量的关系,我们还可以建立子模型。Date数学建模l建立模型
9、l根据所作的假设利用适当的数学工具,构成 实际问题的数学描述,l建模应遵循简单原则:尽管同一个研究对象可以利用多个学科的数 学知识来建模,但应尽量采用简单的数学工 具,以便更多的人了解和使用。 Date数学建模 建模除了需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要广阔的应用数学方面的知识开拓思路,除用到微积分、常微分方程、线性代数、概率论与数理统计等基础知识外,还用到诸如运筹与规划、排队论、图论、对策论等方面的知识。Date数学建模模型的求解与分析 l模型的求解与分析l所谓模型的求解与分析指的是利用数学方法给出模型的结果,或者是利用数学语言描述模型所揭示的含义。 Date数学建模l模型分析对模型结
10、果进行数学上的分析,给出定量或定性的结果,如有可能还应该给出数学上的预报、数学上的最优决策与控制方法等。对结果进行误差分析、灵敏度分析及稳定性分析也是模型分析中必不可少的工作。Date数学建模l模型应用 应用建立的模型解决实际问题，这是建模 的真正目的。好的模型有时可以产生巨大 的影响。l模型检验 经模型检验证明模型是可靠的或适用的后, 模型即可以应用实际问题,用于评价、预测 或指导工程实践。Date数学建模模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性数学模型的特点Date数学建模数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准具体类
11、别具体类别了解程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续连续 型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优优化模型等 研究课题的实际范畴人口模型、生 态态系统统模型 、交通 流模型、经经 济济模型、 基因模型等Date数学建模数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态、数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性描述、优化、预报、决策、建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续Date数学建模数学建模与数学实验内容1）建模的基本概念和方法（数学建模课程的主要内容）2）建模过程中常用的数
12、学方法(微积分、代数、概率外)， 主要有：计算方法(如数值微分和积分、微分方程数值解、 代数方程组解法)，优化方法(如线性、非线性规划)，数理 统计(如假设检验、回归分析)，图论(如最短路)等。 本课程只要求知道实际问题与这些数学知识之间的对应关 系（如哪些问题可用线性规划求解，或线性规划可解决哪 些问题），以及用它们建立模型的方法，基本上不必涉及 模型的求解。3）合适的数学软件的用法。基本上能完成上述方法的软 件，如 MATLAB ,MATHEMATICA, LINGO等。Date数学建模1.4建模示例一辆汽车在拐弯时急刹车， 结果冲到路边的沟里（见图 1.1）。交警立即赶到事故现场。司机申
13、辩说，当他进入 弯道时刹车已失灵，他还一 口咬定，进入弯道时其车速 为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当 于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故 发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？例1 交通事故调查Date数学建模交警在现场获取的相关数据: X指刹车痕迹方向；Y指垂直X轴方向。 经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向， 也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。x0369121516.64y01.192.152.823.283.533.55x182124273033.27y3.543.312.892.221.290表1.1刹车痕迹的测量值(米)Da
14、te数学建模模型假设1.该车的重心沿一个半径为r的圆做圆周运 动（根据交通学原理，现有公路的弯道 通常是按圆弧段设计的,需要检验）。 2.汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以刹 车不起作用）。 3.设摩擦力f作用在汽车速度的法线上，摩擦 系数为常数k，汽车质量为m。Date数学建模模型建立根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= （1.2） 关于半径r的估计:假设已知圆的弦长为c,弓形高度为h,由勾股定理得, 由表1.1得 c33.27m, h3.55m,求得r40.75m. 摩擦系数k的值通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出, 也可以通过交通部
15、门获得, 本例取kg=8.175m/s。代入(1.2)式得v=18.2m/s。Date数学建模模型解释 这一结果（18.2m/s）比司机所说的车速 (17.9m/s)略大一些,但基本上可以认为司 机所说的情况属实。Date数学建模井深的估算假如你站在井边且身上带着一只具有计时功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计井的深度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 井的深度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有计时 功能的计算器。Date数学建模方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。D
16、ate数学建模除去地球引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据 流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻 力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=-g/k，故有 再积分一次，得： Date数学建模若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反 应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算水井高度的公式：
