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1、任意一个mn矩阵A, 用贯穿整个矩阵的纵线 和横线按某种需要将它划分成若干个行数与 列数较少的矩阵, 这种矩阵称为A的子块或子 矩阵,被划分的矩阵A称为分块矩阵. 此方法 实质是把一个阶数较高的矩阵看成是由一些 小矩阵组成的, 这时大矩阵的元素不全是数 量,一般是一些小矩阵.矩阵的分块是矩阵运算中的一个重要技巧, 可以减少运算量使运算更为简明, 而且在一 些命题的证明中起着重要作用.2.6 分块矩阵分块矩阵的运算 矩阵的分块相当随意, 但在划分时纵线和横 线必须贯穿整个矩阵.例如令A11,A12,A21,A22是A的子块,令则分块矩阵的运算规则加法、数乘、乘法规则与一般矩阵相同 .注意用分块矩
2、阵作加法运算时, 要将有关矩阵 划分为大小相同的子块. 用分块矩阵计算 AB时(设A的列数等于B的行数)一定要使A 的列的分法与B的行的分法相同. 这样才 可以保证符合矩阵的乘法规则.例如不可计算 可 以 计 算例1 分块矩阵的加法例2 分块矩阵的乘法练习 设解则又于是例3 设其中A=(aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且|A|0, |B| 0,证明D可逆, 且证明由|D|=|A|B| 0(Laplace) D可逆.设则利用矩阵子块相等, 得得X11=A-1Ek=A-1, X12=A-10=0,代入得X21=B-1CA-1, X22=B-1.注意 若C=0, 有其中|
3、A|0, |B| 0.准对角形矩阵: 当n阶方阵中非零元素都 集中在主对角线附近，分块后形如分块对角矩阵的行列式具有下述性质:例4 设其中ai0(i=1, 2, , n), 求A-1.解 设其中易知而练习 设解分块矩阵的初等变换初等变换也可以象前面求逆矩阵一样用在分 块矩阵上求逆矩阵或进行其他运算.例5 设其中A=(aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且|A|0, |B| 0,求D-1.解左乘A-1左乘B-1左乘(B-1C)特别注意 在计算过程中是对矩阵作初等行变换, 必 须强调左乘一可逆矩阵.上述初等变换写成初等分块矩阵为即例6 设A, B均为三阶方阵, |B|=2, E为单位矩阵 ，求分析：利用初等变换将其化为分块三角形 矩阵, 然后利用拉普拉斯定理.解右乘B-1
