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1、2005年秋季学期第2章 薛定谔方程陈信义编 1目 录2.1 薛定谔方程和力学量算符2.2 无限深方势阱中的粒子2.4 一维谐振子2.3 量子隧穿效应22 .1薛定谔方程和力学量算符1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德 布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后 ，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动 ，必须有波动方程。几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能
2、由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。3一、自由粒子薛定谔方程自由粒子波函数（一维）微商，得到方程4对波函数的运算、变换或操作。：算符 代表用 乘波函数 ：对波函数取复共轭：算符 代表对波函数关于 求导：算符 代表对波函数关于 求导算符是通过对波函数的作用关系来定义的例如算符(operator)5对于非相对论性自由粒子：算符对应关系：作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程算符和力学量的对应关系：6设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为二、薛定谔方程算符对应关系：作用于波函数，得薛定谔方程7三维：引入拉普拉斯算符：薛定谔方程：8若 和 是薛定谔方程的解
3、， 则 也是薛定谔方程的解。l是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理l方程中含有虚数 i它的解 是复函数，复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度，可测量。l是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。9三、力学量算符的引入量子力学假设：力学量用算符表达。1、坐标算符其中 代表任意波函数。 坐标算符假定为2、动量算符算符和动量的对应关系： 坐标算符假定为10【例】动量算符对自由粒子波函数的作用粒子的动量作用结果：等于粒子的动量乘波函数。自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。描述的粒子的动量，结果一定等于动量 。测量由自由粒子波函数 物理上的理解：动量是动量算符的“本征值”。
4、113、哈密顿（Hamilton）量若U不显含时间，则H 称为能量算符。用哈密顿量，薛定谔方程可写成势函数U不显含时间的情况很重要。这时， 薛定谔方程可分离变量求解。 12l哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演 化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达 的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的 势函数U(x,t)来概括。l而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的 原因是作用在粒子上的力。 l只讨论势函数U与时间无关的情况。13算符只是抽象的数学记号，其本身并不象 经典力学中力学量那样代表物理量的取值。算符和相应力学量的取值之间，是通过本 征方程联系起来的。四、力学量算符的本征方程力学量算符 的
5、本征方程，指下述类型方程如果粒子处于本征态 ，则粒子的与 对 应的力学量的取值，一定等于本征值 。本征值 本征波函数（态）14本征值的集合 本征值谱；l坐标算符 的本征方程及其解本征波函数的集合 本征函数系。本征值谱：本征函数系： 如果粒子处于态 ，其坐标一定为 。（连续谱）15l动量算符 的本征方程及其解 本征函数系：如果粒子处于态 ，其动量一定为 。本征值谱：（连续谱）l哈密顿量 的本征方程及其解给定U(x)的具体形式，求解微分方程；顾及 本征波函数的自然条件。16五、不含时薛定谔方程（能量本征方程）除以 ，得若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程,设代入薛定谔方程，得=E (常数)上式可分
6、为以下两个方程： 17（1）（2）方程（1）的解为方程（2）：式中E具有能量量纲，C 可以是复数。（简谐振动）或称能量本征方程。不含时薛定谔方程18数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才 能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。l满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。l定态：能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。l E称为与E对应的本征波函数。若粒子处 于E，则粒子的能量为E。19对于不同的势能函数和能量区间，能量本征 值可以取一系列分立的值，也可以取连续值。 为了讨论方便，下面假设它取分立值 En，n=1,2,3, 相应的本征波函数为 n，n=1,2
7、,3, 薛定谔方程的一系列定态解为通解可写成定态解叠加的形式20式中Cn称为展开系数。后面证明，给定初始时刻的状态(x,0)， Cn 可按下式计算若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解 ，可通过解能量本征方程（不含时薛定谔方程 ）来解决。 因此，能量本征方程的求解，在 量子力学中占有重要地位。21改写成l一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求 粒子的能量E和相应的本征波函数n(x)；求解两类问题：l另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势 垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。222.2 无限深方势阱中的粒子U=0EUUU(x)x0无限深方势阱，为什么？a金属U(x)U=U0U=U0E U=
8、0 x0a23能量本征方程：解方程，求出能量本征值谱 、 本征波函数集合 。无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成为给定的初始时刻的状态。24一、势阱中粒子的能量令 ，方程写成 粒子被束缚在势阱内(束缚态)1、阱外2、阱内25通解：“单值、有限”已 经满足，下面看连续条件。3、用连续条件定特解 A，B为待定常数，由波函数应满足的“单值 、有限、连续”条件决定。k取特定值E取特定值26一维无限深势阱能量的本征值：【思考】为什么不取 ？其中n称为量子数，n=1代表基态，取其它值 代表激发态。这表明，一维无限深方势阱中运 动粒子的能量是量子化的。能量本征值也称为 能级，在一定条件下粒子的状态可以从一个
9、能 级变化到另一个能级，这种变化叫跃迁（ transition）。27l最低能量（基态能量） 零点能l能级间隔宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。28二、势阱中粒子的波函数定态：29l势阱中粒子的概率密度l势阱中粒子的德布罗意波能量为En的定态n，对应波长为n的德布 罗意波的驻波。l在定态n(x,t)或能量本征态n(x)上测量粒子 的能量，结果一定是能量本征值En。30n很大时，势 阱内粒子概率 分布趋于均匀量子 经典|2n|En|2n|束缚态 (bound state)E1E2E3E4Enn0x势阱内粒子概率分 布与经典情况不同玻尔对应原理31任何满足适当边界条件和连续性要 求的波函数
10、，均可用这个函数系作展开 三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合 l正交、归一化条件（自己验证）：l完备性：展开系数按下式计算（付氏级数）32证明：33平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振 动。例如，原子核内质子和中子的振动、原子 和分子的振动、固体晶格离子的振动等。2.3 一维简谐振子选平衡位置为坐标原点和势能零点，简谐振 子能量本征方程为本征态是束缚态：341、 简谐振子的能量n = 0, 1, 2, 采用级数解法。结果如下：35(1)量子化，等间距： 符合不确定度关系(3)有选择定则： (2)有零点能：所以，室温下分子可视为刚性。能级跃迁要满足(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。量子
11、化连续（宏观振子能量相应n 1025 ，E 10-33J ）分子振动 E （10 2 10 1 eV） kT (室温)，362、简谐振子的本征波函数Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 373、概率密度波函数概率密度n = 0xn = 0xn = 1xn = 1xn = 2xn = 2x38xn很大EnE1E2E0 0U(x)概率密度的特点：(1) 概率在E 50nm时, T0, 隧道 效应基本消失, 量子经典。51二、量子隧道效应的应用隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，1、核的 衰变U Th + He2382344 是通过 隧道效应出来的。对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。
12、rRU35MeV4.25MeV0核力势能库仑势能522、扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）STM是一项技术上的重大发明，原理：利用量子隧道效应1986. Nob ：鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明电子显微镜毕宁（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。用于观察53U0U0U0A 常量 样品表面平均势垒高度（ eV）d 1nm（ 10A ）。d 变 i 变，反映表面情况。ABdE隧道电流 iABU d探针样品电子云重叠54隧道电流i，对针尖和样品表面之间的距 离d非常敏感。用金属探针在样品
13、表面扫描 ，通过隧道电流的变化就能记录下样品表 面的微观形貌和电子分布等信息。扫描隧道显微镜在表面物理、材料科学 、化学和生物等很多领域的科学研究中都 有重要的应用。 55隧道 电流反馈传感 器参考信号显示器压电 控制加电压扫描隧道显微镜示意图56用STM得到的神经细胞象硅表面STM扫描图象571991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙 原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米。移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在 意义目前尚无法估量。58镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片Fe原子间距：0.95 nm，圆圈平均半径：7.13 nm48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。59
