平移和旋转

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1、一、平移和旋转：例：已知：RTABC 与 RTDEF 中，ACB=EDF=90，DEF=45，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm现将 RTABC 和 RTDEF按图 1的方式摆放，使点 C与点 E重合，点 B、C（E） 、F 在同一条直线上，并按如下方式运动运动一：如图 2，ABC 从图 1的位置出发，以 1cm/s的速度沿 EF方向向右匀速运动，DE 与 AC相交于点 Q，当点 Q与点 D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图 3，RTABC 绕着点 C顺时针旋转，CA 与 DF交于点 Q，CB 与 DE交于点 P，此时点 Q在 DF上匀速运动，速度为 ，当 QCDF 时暂

2、停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图 4，RTABC 以 1cm/s的速度沿 EF向终点 F匀速运动，直到点 C与点 F重合时为止设运动时间为 t（s） ，中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在 RTABC 从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时10s；（2）在整个运动过程中，设 RTABC 与 RTDEF 的重叠部分的面积为 S（cm 2） ，求 S与 t之间的函数关系式，并直接写出自变量 t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点 Q正好在线段 AB的中垂线上，若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直

3、平分线的性质；勾股定理；平移的性质；旋转的性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）运动一，停止时，EC=4cm，用时为：41=4 秒；运动二，停止时，DQ=2 cm，用时为：2 =2秒；运动三，点 C与点 F重合时，CF=4cm，用时为：41=4 秒；综上，总用时为：4+2+4=10（秒） ；（2）运动一，RTABC 与 RTDEF 的重叠部分为直角QCE 的面积，表示出即可；运动二，连接 CD，可得E=CDQ，ECP=ECQ，EC=DC，所以ECPDCQ，RTABC 与 RTDEF 的重叠部分不变：y=8（4t6） ；运动三，四边形 QDPC为矩形，CF=4（t6）=t2，EC=4+t6=t

4、2，所以，S 矩形 QDPC= （t2） （10t）= t2+6t10；（3）点 Q在线段 AB的中垂线上，连接 BQ，可得 AQ=QB，所以，ACCQ= ，又 AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由DEF=45，所以，EC=3.5cm，解答出即可解答：解：（1）根据题意得，运动一：DEF 是等腰三角形，ACB=90，EF=8cm， EC=4cm， 运动一所用时间为：41=4（秒） ，运动二：当 QCDF 时暂停旋转，CD=CF，DQ=QF=2 cm运动二所用时间为：2 =2（秒） ，运动三：CF=4cm，运动三所用的时间为：41=4（秒） ，整个过程共耗时 4+2+4=1

5、0（秒） ；故答案为：10；（2）运动一：如图 2，设 EC为 tcm，则 CQ为 tcm，S ECQ = tt，S 与 t之间的函数关系式为：y= t2（0t4） ，运动二：如图 3，连接 CD，E=CDQ，ECP=ECQ，EC=DC，ECPDCQ，S 与 t之间的函数关系式为：y=8（4t6） ，运动三：如图 4，四边形 QDPC为矩形，CF=4（t6）=t2，EC=4+t6=t2，S 矩形 QDPC= （t2） （10t） ，= t2+6t10；S与 t之间的函数关系式为：y= t2+6t10（6t10） ；（3）如图 5，存在点 Q，理由如下：点 Q在线段 AB的中垂线上，连接 BQ，

6、AQ=QB，ACCQ= ，又AC=16cm，BC=12cm，解得，CQ=3.5cm，DEF=45，EC=3.5cm，此时，t 为：3.51=3.5 秒点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据 P点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点 Q的位置，是解答的关键练习：备用图图 2图 11、已知， 和 中， , , ,RtABCtDE90ABCDE30CAB60DEAD=3， AB= ，且 AB，AD 在同一直线上，把图 1 中的 沿射线 AB 平移，记平移中的63 为 （如图 2） ，且当点 D 与点 B 重合时停止运动，设平移的距

7、离为 DE x（1）当顶点 E 恰好移动到边 AC 上时，求此时对应的 值；x（2）在平移过程中，设 与 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 之间的函数关系式以ARtC及相应的自变量 的取值范围；x（3）过点 C 作 CF/AE 交 AB 的延长线于点 F，点 M 为直线 BC 上一动点，连接 FM，得到 ，将MCF绕点 C 逆时针旋转 ，得到 （M 的对应点为 ，F 的对应点为 ） ，问 的面MF60 积能否等于 ？若能，请求 的长度，若不能，请说明理由A解：（1） 312xABCFMF ABCFMFABCFMF（2） ，03x28Sx，6234，312x213(8)2Sxx，639（

8、3）设 CMx FCMFFCSS= 2134324xx化简得： 0120A设 CMx FCFMCFCMSS= 2131432xx化简得： （舍负） 402x 1()12A设 CMx FCMFCFCSS= 2314323xx化简得： （舍负） 202x 1()12AM 的值为 10 或 或 12分 2、如图，菱形 中，对角线 、 相交于点 、 、 、 分别为BCDABD,5,2,OABCEFGH菱形的四边中点，顺次连接 、 、 、 四点得矩形 。EFGHEFG（1）求矩形 的边 、 的长；FGH（2）如图，固定菱形 ，将矩形 沿 方向向右平移，直至点 落在 上时停止运动。ABCDEFGHODDE

9、F设平移距离为 ，记矩形 与菱形 重叠部分的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并指x Sx出 的取值范围；（3）如图，固定菱形 ，将矩形 绕点 旋转，使边 的中垂线 交线段 于点EHOMA，射线 交线段 于点 ，连接 。当 为直线三角形时，请直接写出 的长。MOHNMN图形翻折：例题：如图，四边形 OABC为正方形，点 A在 x轴上，点 C在 y轴上，点 B（8，8） ，点 P在边 OC上，点 M在边 AB上把四边形 OAMP沿 PM对折，PM 为折痕，使点 O落在 BC边上的点Q处动点 E从点 O出发，沿 OA边以每秒 1个单位长度的速度向终点 A运动，运动时间为t，同时动点 F从点 O出

10、发，沿 OC边以相同的速度向终点 C运动，当点 E到达点 A时，E、F同时停止运动（1）若点 Q为线段 BC边中点，直接写出点 P、点 M的坐标；（2）在（1）的条件下，设OEF 与四边形 OAMP重叠面积为 S，求 S与 t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形 OABC边上，是否存在点 H，使PMH 为等腰三角形，若存在，求出点 H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点 Q为线段 BC上任一点（不与点 B、C 重合） ，BNQ 的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；勾股定理；

11、正方形的性质。专题：动点型。分析：（1）本题根据图形，知道点 Q为线段 BC边中点，有知道点 B的坐标，所以可以求出P、M 的坐标（2）本题需先根据（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当 0t5 时，可以求出 S的值，第二种情况当 5t8 时，设 EF与 PM交点为 R，作 RIy 轴，MSy 轴，可以证出 RI=FI，有根据 FI=2PI可以证出 FP=PI，PI=2PF，PF=t5，RI=2（t5）最后解出结果（3）本题需先根据（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作 PM的中垂线交正方形的边为点 H1，H 2，则 PH1=MH1，PH 2=MH2，所以点 H1，H

12、 2即为所求点，分别求出 H1、H 2的坐标；第二种情况当 PM=PH3时的情况，分别求出 PM、MH 3、OH 3的值，最后求出 H3的坐标第三种情况当 PM=MH4时，分别求出 PM、MH 4 BH4的值，即可求出 H4 的坐标（4）本题需先根据所给的条件证出CPQBQN，再设 CQ=m，根据三角形的性质即可求出BQN 的周长解答：解：（1）点 Q为线段 BC边中点，B（8，8） ，P（0，5） ，M（8，1） ；（2）当 0t5 时，S=当 5t8 时，如图，设 EF与 PM交点为 R，作 RIy轴，MSy 轴，EO=FO，RI=FI，又 ，RI=2PI，FI=2PI，FP=PI，PI=

13、2PF，PF=t5，RI=2（t5） ，S=S OEF S PRF ，= ，= ；（3）如图作 PM的中垂线交正方形的边为点 H1，H 2，则 PH1=MH1，PH 2=MH2，点 H1，H 2即为所求点，设 OH1=x，PH 1=MH1，x 2+52=（8x） 2+12 ，H 1（ ） ，同理，设 CH2=y，PH 2=MH2，3 2+y2=（8y） 2+72 ，H 2（ ） ，当 PM=PH3时， ， ， ， ，当 PM=MH4时， ， ， ， ，综上，一共存在四个点，H 1（ ） ，H 2（ ） ， ， ；（4）PQN=90， CQP=BQN=90，又CQP+CPQ=90，CPQ=BQN

14、，又C=B=90， CPQBQN，设 CQ=m，则在 RtCPQ 中，m 2+CP2=（8CP） 2， ， ，又CPQ 的周长=CP+PQ+CQ=8+m，BQN 的周长= =16BQN 的周长不发生变化，其值为 16点评：本题主要考查了相似三角形判定和的性质，在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论。练习：1、如图，以 RtABO 的直角顶点 O为原点，OA 所在的直线为 x轴，OB 所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系已知OA=4，OB=3，一动点 P从 O出发沿 OA方向，以每秒 1个单位长度的速度向 A点匀速运动，到达 A点后立即以原速沿 AO返回；点 Q从 A点出发沿 AB以每秒

15、 1个单位长度的速度向点 B匀速运动当 Q到达 B时，P、Q 两点同时停止运动，设 P、Q 运动的时间为 t秒（t0） （1）试求出APQ 的面积 S与运动时间 t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将APQ 沿着 PQ翻折，使得点 A恰好落在 AB边的点 D处，如图求出此时APQ 的面积（3）在点 P从 O向 A运动的过程中，在 y轴上是否存在着点 E使得四边形 PQBE为等腰梯形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由（4）伴随着 P、Q 两点的运动，线段 PQ的垂直平分线 DF交 PQ于点 D，交折线 QBBOOP 于点 F 当 DF经过原点 O时，请直接写出 t的值考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形。专题：应用题；分段函数。分析：过 Q作 QHAP 于 H点，构造直角