微积分：无穷小—分析学

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1、 微积分：无穷小 分析学 无穷小与微积分思想萌芽 不可分量与微积分方法雏形 微积分学的创立 微积分基础严密化 分析学的进一步发展 引言 引言计算平面图形的面积：实践经验：精确的面积值 小方格越小越好；理论结果：小方格会呈现为“无穷小” 微积分方法和理 论产生。（56 + 26）/ 2 = 41 （188 + 134）/ 2 = 161微积分的基本概念从无穷小开始，人类奋斗了 2500 多年。 无穷小与微积分思想的萌芽一、古希腊的穷竭法二、中国古代的极限思想 无穷小与微积分思想的萌芽一古希腊的穷竭法：毕达哥拉斯学派：贴合理论、不可公度比的发现、德摩克 利特原子论；面积贴合理论 不可公度比厄利亚学

2、派：芝诺悖论操场队列飞矢不动阿基里斯与龟两分法欧多克索学派：穷竭法原理已知两个不等的量，从较大量中减去大于其一半的量, 再从余下的量中继续减去大于其一半的量，其结果，总可以 使某一次余下的量小于已知的较小量。阿基米德：求抛物线弓形面积。如图，QV为抛物线PQR的直径，Q1V1 ，Q1V1分别为抛 物线，PQ1Q，抛物线QQ1R的直径。根据抛物线的性质，得到 易证：阿基米德先用杠杆原理推出结论：设假设根据穷竭法原理，有使得但由（*）有矛盾。假设越来越小，则存在使得但由（*）有比较可得由归谬法故二中国古代的极限思想：墨子：至大无外，为大一；至小无内，为小一。庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。九章

3、算术圆田术：半周半径相乘得积步。刘徽注（割圆术）： 以六觚之一面乘半径，因而三之得十二觚之幂；若又割 之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少，割之 又割，以至于不可割，则与圆合 体，而无所失矣。觚面之外，犹有余径，表无 余径，则幂不外出矣。以一面乘 半径，觚而裁之，每辄自倍，故 以半周乘半径而为圆幂。 不可分量原理与微积分方法雏形一、Keple、Galilei 的思想方法二、Cavalieri 的工作三、Torricelli 的工作四、Fermart 的工作五、Barrow 的工作六、Wallis 的工作 不可分量原理与微积分方法雏形十六、十七世纪，围绕四大问

4、题：求面积、求速度、求切 线、求极值，数学家们做出了非常杰出的工作，这些工作与微 积分方法的形成关系密切。一Keple、Galilei 的思想方法：Keple求圆面积 Galilei求瞬时速度 二Cavalieri，Francesco Bonaventure（1598 1647）的工作用新的方法推进连续体的不可分量的几何学（1635） 提出“不可分量原理”：线段是无数个等距点构成，面积是无数 个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些 点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。Cavalieri 利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积 的计算及其相关的推理，但是，他未能对

5、“不可分量”作出严格 的论述。数学家们对此褒贬不一。1644年， Cavalieri本人发现 了关于“不可分量”的悖论。三Torricelli，Evangelista （1608 1647）的工作继承、发展了Galilei、Cavalieri 的思想方法，在求一个无 限几何体体积时，把“不可分量”原理用得淋漓尽致。如图，由 xy = k（k0），x = 0，y = 0，x = m 所围的图形 绕 y 轴旋转一周，所成几何体的体积。任取垂直于 y 轴的截面 MN，可有S侧 = 2OLLM = 2k S截 = (OA/2) = 2k 一一对应，由不可分量 原理，得V = 2k m 既然 x + E

6、 = x，则 E = 0， 故2求切线：OQ = a，VQ = b，QQ= E四Fermart 的工作1求极值：求使 A = x（a - x）最大的 x。即 2ab + E = a，令 E = 0， 得到 a = 2b，过 P 的切线确定。当 E 很小时用 x + E 代替 x，有 (x + E)(a - x - E)= x(a - x)，解得由抛物线性质之间的面积。利用等比级数求和得 ：于是作变换 令则所求面积为：之下，从 0 到3. 求面积：如图，求五Barrow，Isaac （1630 1677）的工作1一般求切线方法：如图，求故切线求得。过M点的切线。2探讨“求切线”与“求面积”的互逆

7、关系：如图，取KL上任一点Z，使 由于NO非常小，类似地，可以得到曲边四边形AFZK的面积六Wallis，John （1616 1703）的工作：无穷的算术（1655）中的代数学倾向，打破了几何学 的顽固的观念，虽然显得有点粗糙，但是很有启迪意义。设 ABC 的底和高分别 为a、h，将三角形分割成无 限小的平行四边形，它们的 面积从顶点顺序到底边，组 成一个从 0 开始的算术级数 ，其末项为那么 ，ABC 的面积为 微积分学的创立十七世纪，微积分方法已经被许多人掌握，费马、巴罗 被誉为最精通微积分的人；但是，还需要做以下工作：确定概念、提炼方法、改造形式、揭示规律 微积分学才能创立，牛顿、莱布

8、尼茨分别、独立地完成了上 述工作，他们俩被誉为微积分学的发明人。可惜，在牛顿和莱布尼茨之间发生了争执，为时百余年 之久。其实，他们的工作并不完全相同，我们可比较如下：牛顿（Newton，Isaac 1642 1727）英国著名科学家， 在科学的许多领域都作出了杰出贡献。莱布尼茨（Leibniz，Gottfried Wilhlm 1646 1716）德国 哲学家，被誉为百科全书式的天才。牛顿莱布尼茨 创作年代1665166716731676发表年代原理（1687）求积术（1704） 分析（1711）流数法（1736）札记（1684） 新方法（1686） 出 发 点力学-几何学数学-算术主要概念导

9、数-不定积分微分-定积分无 穷 小无层次有阶次符 号不定、杂乱规范、沿用至今风格特征具体、条理抽象、零碎理论基础最初比、最终比连续性原则共 同 点建立一般方法：微分法、积分法 揭示微分法与积分法的互逆关系 面临无穷小的逻辑困难无法克服牛顿1642年的圣诞出生于英格兰林肯郡伍尔索普村一 个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛 顿并不是神童，学习成绩也不突出，但他特别爱读书与制 作玩具。17岁时，牛顿曾经被他的母亲从他就读的格兰瑟 姆中学招回务农，还是在牛顿的舅舅和中学校长的竭力劝 说下，牛顿的母亲在九个月后才允许他返校继续学习。那 位中学校长在劝说时讲的一句话成为科学史上最幸运的预

10、言：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是 多么巨大的损失！”1661年，牛顿在剑桥大学三一学院就教于巴罗，同时 钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等的著作。1665年8 月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿回到家乡躲避了两 年。这两年竟成为牛顿科学研究的黄金岁月，历史上第一 篇系统的微积分文献流数简论，就是牛顿在这个时期 完成的，并且他一生中大多数科学创造的蓝图都是在这两 年绘制的。牛顿数学思想的形成，受笛卡儿的几何学和沃利 斯的无穷算术的影响最深，正是这两部著作引导他走 上创立微积分之路。1667年春，牛顿重新回到剑桥大学， 对自己的微积分的工作不断努力改进，先后又写出三篇论 文：

11、1669年完成运用无穷多项方程的分析，1671年完 成流数法与无穷级数，1691年完成曲线求积术。 牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎，上述论文都 是经朋友再三催促才发表，甚至流数法与无穷级数直 到他去世了才正式发表。牛顿微积分学说最早的公开表述 出现在1687年的自然哲学的数学原理之中，这部著作 也是在著名天文学家哈雷的催促下才发表的，它成为数学 史上划时代的著作。 牛顿是一位科学巨人，但是当他在谈到自己的光学发现时却说：“如果我看得更 远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”当别人问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回 答是：“心里总是装着研究的问题，等待那最初的一线 希望渐渐变成普照一切的光

12、明。”他往往一天伏案工作18小时左右，仆人经常发现送 到书房的午餐和晚餐竟一口未吃。偶尔出去用餐，出门 就陷入思考，兜了一圈又回来了。他性格内向，不善于在公众场合表述思想，但作为 英国皇家学会的会长，他却能赢得大多数会员的拥护， 连任时间长达四分之一世纪。“ 除了顽强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己 与常人有什么区别。”（归纳科学史作者惠威尔）莱布尼茨出生于德国莱比锡，父亲是莱比锡大学的哲学 教授。莱布尼茨从童年起就利用父亲丰富的藏书，勤奋学习 ，博览群书，熟悉了一些科学知识。15岁进入莱比锡大学学 法律，并钻研哲学和数学，1664年获哲学硕士学位。1666年 毕业于阿尔特多夫大学，当年完成

13、了法学博士论文，1667年 2月获法学博士学位并取得教授席位，但他没有到职，却在 缅因兹选帝侯的门下服务，处理法律和外交事务。1672年3 月以外交代表的身份出使法国巴黎，在巴黎居留了4年。这4 年对莱布尼茨科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫 的那两年相比，因为莱布尼茨许多重大的成就，包括创立微 积分都是在这个期间完成或奠定基础的。莱布尼茨在巴黎结识了许多数学家和其他科学家，特别 是与荷兰数学家、物理学家惠更斯的交往，激发了莱布尼茨 对数学的兴趣。他通过研究卡瓦列里、笛卡儿、费马、帕斯 卡和巴罗等的著作，写了许多杂记手稿，发现了微积分方法 的原理，确定了微积分学的基本内容。大约到17世纪

14、80年代，莱布尼茨开始总结自己陆续获 得的结果，并将它们整理成文，公诸于众。1684年莱布尼 茨发表了他的第一篇微分学论文一种求极大值与极小值 和求切线的新方法，它刊登在教师学报上，这也是 数学史上第一篇正式发表的微积分论文。1686年莱布尼茨 又发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量 及无限的分析，这篇论文初步论述了积分或求积问题与 微分或求切线问题的互逆关系。莱布尼茨被称为百科全书式的天才，他的博学多才在 科学史上是罕有所比的，其著作涉及数学、力学、机械、 地质、逻辑、哲学、法律、神学、语言学和外交等，在数 学上的贡献也远不止于微积分。总而言之，牛顿和莱布尼茨在前人和同时代人工作的

15、基 础上，都超越了具体问题的求解，建立起一般的方法，称之 为微分法和积分法，并揭示了微分法与积分法的互逆关系， 这样，一门独立的学科微积分学创立了。但是，对于微积分学的理论基础，无论是牛顿还是莱布 尼茨都没有能给出令人满意的论述，甚至他们本人也不满意 自己的工作，因为他们面临无穷小的逻辑困难无法克服。好 在微积分方法在应用中还是很受欢迎的，人们几乎顾不得微 积分学的理论基础，就把微积分迅速地发展起来。经过近一 个世纪的尝试和酝酿，直到19世纪人们才找到了极限，用它 来描述无穷小，即：无穷小是以零为极限的变量，这时微积 分的理论基础才严密化了。牛顿和莱布尼茨都是他们那个时代的巨人，就微积分的 创

16、立而言，尽管在背景、方法、形式上存在一些差异，但各 有特色，两人的功绩是相当的。他们都使微积分成为普遍适 用的算法，同时又都将积分归结为微分的逆运算。应该说， 微积分能成为一门独立的学科并给整个自然科学带来革命性 的影响，主要是靠他们两个人的工作。可惜，牛顿与莱布尼 茨之间发生了一场发明微积分优先权的争执。1687年以前，牛顿确实没有公开正式发表过任何微积分 的文章，而莱布尼茨则在1684年和1686年分别发表了两篇论 文。到1687年，牛顿在自然哲学的数学原理中首次发布 他的流数法时，在前言中作了一段说明：“ 十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中指 出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线 以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数， 这位名人回信说他也发现了