单变量推论统计1：参数估计

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1、第三章 单变量的推论统计之一： 参数估计第一节 抽样分布 第二节 参数的点估计和区间估计 第一节 抽样分布一、相关名词解释参数值统计值随机抽样随机样本二、蒙特卡罗抽样分布：常见的统计问题是：总体未知，比如我们并不知道华 电所有学生的大学语文的平均分为u=65。我们只是随 机抽样，比如抽取了3000名学生，得知这个3000名学 生所构成的样本的均值 =64。因此我们用得到的这 个样本统计值去估计总体的参数值。但是我们都知道 ，样本是随机抽取的，不同的人抽取到的样本（假设 让全班28个人每个人都抽一个3000人容量的样本）是 不同的，同一个人反复抽样时也很可能抽取到不同的 样本。根据排列组合，抽到

2、的是无限个情况的样本。 我们反复从华电学生（假设是10000名）中抽3000个 人组成样本，每次都计算出一个新的样本均值，那么 将会得到无数个样本均值 ，这种重复抽样的方法就 叫蒙特卡罗抽样方法。从每个样本中可以计算出一个 样本均值 ，我们将重复抽取的n个样本的都计算出来 ，研究发现，这些均值就构成了均值的蒙特卡罗抽样 分布。因此可见，它是一种理论分布。研究发现：1、抽样分布的图形显示样本均值 围绕其目 标u，以标准误差SE=/ 近似正态地波动。( 因此n越大，SE越小，即波动越小)2、同样地，我们发现样本比例p也可以用这个 方法来处理，它围绕其目标P，以标准误差 SE= 近似正态地波动。三、

3、对比总体分布、样本分布、抽样分布1、参数值：u和都是唯一确定的值。统计值：由于总体容量N样本容量n ，因为重 复抽样时，每次抽取到的元素都会不尽相同。 因此，不同的样本的统计量很可能不同。2、抽样中样本只涉及到总体中的部分元素而不 是全部元素。因为样本的统计量与总体的参数 值之间总是存在一定的差别，我们引入抽样分 布的概念，旨在对这种差别进行一定的说明。3、均值的正态近似原理：样本均值以SE的标 准误差围绕总体均值u波动。随着n的增加，波 动越来越小，越接近正态分布。（n30）4、比例的正态近似定理：在容量为n的随机 样本中，样本比例p以SE= 的标准误差围 绕总体比例波动。随着n的增加，p的

4、分布也 就围绕其目标波动地原来越小，越来越接近正 态分布。（n30，np5）5、抽样分布是关于样本均值的分布，它的均 值就是总体的均值u，即。，而抽样分布 的标准差，将之称为标准误差SE，以与总体 分布、样本分布相区分。其中SE= ，而当样 本相当大时，一般用样本的标准差s来代替总 体。 例：台湾的一次普遍调查显示，台湾民众的月 收入近似地服从正态分布，其均值为13110台 币，标准差为8750元，求：（1）随机地抽取一个人，其收入超过18430元 的概率。（2）抽取一个含有50人的随机样本，求其平 均收入超过16000元的概率。（3）如果总体不是正态的，那么（2）的答案 是什么？例：全厂满意

5、工作环境的工人比例为35%，现 在从全厂中随机抽取150名工人，问其满意工 作环境的工人比例超过45%的概率。作业题：1、试计算以下数值的四分位差、中位数、众 数2，3，4，5，4，4，2，5，6，6，72、调查某地区的212个乡，目的是要知道每个 乡之育龄妇女（15-44岁）落实计划生育的比率 ，以下为收集到的资料。1）试求四分位差。 2）试求40百分位数点的值。 节育率（%） 频次向上累加频次 5及以下1616 5-153854 15-254094 25-3530124 35-4523147 45-5524171 55-6519190 65及以上22212 汇总212第二节 参数的点估计和

6、区间估计一、点估计1、总体均值的点估计值。2、总体方差的点估计值。3、总体标准差的点估计值。4、总体比例的点估计值。二、区间估计（即：求置信区间） 1、基本概念 置信度：又称可信度、置信水平。即总体的参数 值落在置信区间的把握。或者说用置信区间去 估计总体参数值时，成功的可能性有多大。 置信区间：在一定的置信水平下，根据样本的统 计值来估计总体的参数值处于一定的区间之内 ，这个区间就是置信区间。 显著度：又称显著性水平。它表示用置信区间来 估计总体参数，其不可靠的概率。若置信水平 为95%，则显著性水平为5%或0.05。2、置信区间与置信度之间的关系 相互制约 置信度高低反映的是这种估计的可靠

7、性或把握性的 问题，而置信区间的大小反映的是这种估计的精 确性问题。对于同一个总体和同一个抽样规模来说，所给区 间的大小与做出这种估计所具有的把握性成正比 。即区间越大，则对这一估计成功的把握性也越 大；反之，则把握性越小。 综上，从精确性出发，要求所估计的区间越小越好 ，但是从把握性出发，又要求所估计的区间越大 越好。人们总是需要在二者兼进行平衡与选择。3、总体均值的区间估计1）总体方差已知时，大、小样本的均值估计2）总体方差未知时，大样本的均值估计3）总体方差未知时，小样本的均值估计4）未知总体比例（成数），大样本的比例估计5）未知总体比例，小样本的比例估计 例：设某工厂妇女从事家务劳动时

8、间服从正态分布 N（u， ），随机抽取了一个n=36的样本，发 现其每天平均从事家务劳动的时间 =2.65小时 ，求u的双侧置信区间。（a=0.05） 解：例：设某工厂妇女从事家务劳动时间服从正态分 布N（u， ），随机抽取了一个n=25的样本 ，发现其每天平均从事家务劳动的时间 =2.65小时，求u的双侧置信区间。（a=0.05） 解：总结：1）总体参数u是常数，并且一直保持不变 ，变化的是随机区间，其中心为 ，长度为2 SE。 2）随着样本含量n的增加， 的标准误差/ 也 越来越小，因此置信区间也变得更窄更精确。 这就是增加样本含量的价值。 3）随着置信度的增高， 也随之增大，因此 置信区

9、间变得更宽， 即更加含糊不明确，这也 是可以理解的：要想把某一个声明表达得更有 把握，就必须使其更加含糊不明确。因此置信 度和精确度之间是矛盾的。我们对于实际问题 总是在两者之间作一个合理的折衷。例：设某社区受教育程度服从正态分布N (u， )，根据35人的随机抽样调查， =11.5年 ，S=3.6年，求u的双侧置信区间。（a=0.01 ） 解：例：设某社区受教育程度服从正态分布N (u， )， 未知，根据26人的随机抽样调查， =11.5年，S=3.6年，求u的双侧置信区间。（ a=0.01） 解：t分布是适用于小样本的一种分布。其扁平或高 耸的程度取决于自由度（df=n-1），其自由度 越

10、大，越高耸，形状与标准正态分布曲线越接 近。当n30时，一般认为与正态分布近似。 t分布与正态分布的相似之处：t分布基线上的t 值从-+；平均数等于0处，左侧t值为负 ，右侧t值为正；曲线以平均数处为最高点向 两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线相 接，呈单峰对称形。 使用t分布的条件：必须假定总体为正态分布。 （与使用Z分布的不同之处）为什么t分布的自由度是n-1而不是n呢？ 自由度：指的是可以自由取值的个案的数目，对 于一组数据来说，假定n=1，则我们可以算出均 值（就是这个唯一的数本身），但是无法考虑 分布的形状。描述分布的形状最有价值的是方 差，只有n超过1，我们才能得到这组数据分布

11、 的方差。 ( = )，因此对于方差来说，均 值占用了一个自由度，其余的n-1个自由度留给 了方差。 例：有5个数，其均值为3，请问：1）你能确定 这5个数都是什么吗？2）如果不能，那么请问 其中有几个数是可以自由取值的？戈塞尔用笔名“学生”发表。 为什么分母中根号下为n-1？样本数据的离散程度 小于总体数据的离散程度（假设用全距这个离 散量数来说明）。因此样本的标准差会比总体 的标准差偏小。因此s除以根号n会有偏误，所 以采用了根号n-1，在nS/ ，因此分母中为更贴近于 / ）例：从某社区取n=200个家庭的样本，36%的 家庭中家庭事务是丈夫说了算，问：此社区 家庭事务是丈夫说了算的家庭

12、比例的置信区 间。（a=0.01） 解： 法一： 法二：4、二总体均值差的区间估计 1）已知 ，大样本（n1+n2100） 2）已知 ，小样本（ n1+n2100 ） 3）未知 ，大样本 4）未知 ，小样本5、二总体成数差的区间估计例：为了了解甲、乙两地中学毕业生成绩的 差别，两地作了抽样调查，结果显示：甲地 ： =520，S1=40，n1=800名，乙地： =505，S2=50，n2=1000名，求：a=0.05时 ，两地平均成绩差的区间估计。例：有两个小组，甲小组：n1=11，人均每周抽 烟 =5盒，S1=1.5。乙小组：n2=11，人均 每周抽烟 =7盒，S2=2.0，求：a=0.05时

13、， 两组抽烟均值差的置信区间。例：甲、乙两地各做1000户抽样调查，其中甲 地拥有电视机为825户；乙地拥有电视机为 760户。求：a=0.05时，两地电视机拥有比例 （成数）差的置信区间。6、单侧置信区间例：设某工厂月平均收入服从正态分布N（u， ），随机抽取了一个n=36的样本，发现其每人 平均月平均收入为265元，求u的单侧置信区间 。（a=0.05） 解：作业： 1、我国某地区成年人教育水平的均值为8.2年， 标准差为3年。随机抽取了25位成年人进行调 查，发现平均受学校教育在7-9年之间的概率是 多少？（抽样分布） 2、一架电梯是按照极限负重为1000公斤设计的 ，声称可以容纳13人。假定利用该电梯的所有 乘客重量的平均值为70公斤，标准差为12公斤 。那么一个13人的随机样本的重量总体超过负 重极限1000公斤的概率是多少？（先算出样本 均值）3、课本403，六A 4、课本403，六B