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1、数学建模与数学实验后勤工程学院数学教研室回归分析Date1实验目的实验内容2、掌握用数学软件求解回归分析问题。1、直观了解回归分析基本内容。1、回归分析的基本理论。3、实验作业。2、用数学软件求解回归分析问题。Date2一元线性回归多元线性回归回归分析数学模型及定义*模型参数估计*检验、预测与控制可线性化的一元非线 性回归（曲线回归）数学模型及定义*模型参数估计*多元线性回归中的 检验与预测逐步回归分析Date3一、数学模型例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出.散点图解答Date4一元线性回归分析的
2、主要任务是：返回Date5二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计Date6Date7返回Date8三、检验、预测与控制1、回归方程的显著性检验Date9（）F检验法（）t检验法Date10（）r检验法Date112、回归系数的置信区间Date123、预测与控制（1）预测Date13（2）控制返回Date14四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：解答Date15散 点 图此即非线性回归或曲线回归 问题（需要配曲线） 配曲线的一般方法是：D
3、ate16通常选择的六类曲线如下：返回Date17一、数学模型及定义返回Date18二、模型参数估计Date19返回Date20三、多元线性回归中的检验与预测（）F检验法（）r检验法(残差平方和 ）Date212、预测（1）点预测（2）区间预测返回Date22四、逐步回归分析（4）“有进有出”的逐步回归分析。（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法：“最优”的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量, 而不包含 对Y影响不显著的变量回归方程。以第四种方
4、法，即逐步回归分析法在筛选变量方面较 为理想.Date23 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方 程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。逐步回归分析法的思想： 从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大 到地依次逐个引入回归方程。 当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时， 要将其剔除掉。 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为 逐步回归的一步。 对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显 著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。返回Date24统计工具箱中的回归分析命令1、多元线性回归2、多项式回归3、非线性回归4、逐步回归返回Date25多元
5、线性回归b=regress( Y, X )1、确定回归系数的点估计值：Date263、画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量 ， 有三个数值：相关系数r2、 F值、与F对应的概率p置信区间显著性水平 （缺省时为0.05）Date27例1 解：1、输入数据：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;X=ones(16,1
6、) x;Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回归分析及检验：b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X)b,bint,statsTo MATLAB(liti11)题目Date283、残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点. 4、预测及作图： z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,k+,x,z,r)
7、返回To MATLAB(liti12)Date29多 项 式 回 归 （一）一元多项式回归 （1）确定多项式系数的命令：p，S=polyfit（x，y，m）（2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1、回归：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、预测和预测误差估计： （1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处 的预测值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y DELTA；alpha缺省时为0.5.Date30法一直接作二次
8、多项式回归：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;p,S=polyfit(t,s,2)To MATLAB（liti21 ）得回归模型为 ：Date31法二化为多元线性回归： t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; T=ones(14,1) t (
9、t.2); b,bint,r,rint,stats=regress(s,T); b,statsTo MATLAB(liti22)得回归模型为 ：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,k+,t,Y,r)预测及作图To MATLAB(liti23)Date32（二）多元二项式回归命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩阵显著性水平 （缺省时为0.05）n维列向量Date33例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.法一直接用多元二项式回归： x1=1000 600 1200 5
10、00 300 400 1300 1100 1300 300; x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9; y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60; x=x1 x2;rstool(x,y,purequadratic)Date34在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta、rmse和residuals都 传送到Matlab工作区中.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。则画面左边的“Predicted Y”下方的数据变为88.47981，即预测出 平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.Date35在Matl
11、ab工作区中输入命令： beta, rmseTo MATLAB(liti31)Date36结果为: b =110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats =0.9702 40.6656 0.0005法二To MATLAB(liti32)返回将化为多元线性回归：Date37非线性回 归 （1）确定回归系数的命令：beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回归：残差Jacobian矩阵回归系数 的初值是事先用m-文件定 义的非线性函数估计出的 回归系
12、数输入数据x、y分别为 矩阵和n维列向 量，对一元非线性回 归，x为n维列向量。2、预测和预测误差估计： Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J） 求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y DELTA.Date38例 4 对第一节例2，求解如下：2、输入数据：x=2:16;y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;beta0=8 2;3、求回归系数：beta,r ,J=nlin
13、fit(x,y,volum,beta0)；beta 得结果：beta =11.6036-1.0641即得回归模型为：To MATLAB(liti41)题目Date394、预测及作图： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)；plot(x,y,k+,x,YY,r) To MATLAB(liti42)Date40例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值 、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关 。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。 解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业 人口、固定资产投资分别为x1
14、、x2、x3、x4、x5、x6，财政收 入为y，设变量之间的关系为： y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6 使用非线性回归方法求解。Date411 对回归模型建立M文件model.m如下:function yy=model(beta0,X)a=beta0(1);b=beta0(2);c=beta0(3);d=beta0(4);e=beta0(5);f=beta0(6);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);x5=X(:,5);x6=X(:,6);yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; Date422. 主程序
15、liti6.m如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.002927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 .564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 .
16、890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0)To MATLAB(liti6）Date43betafit =0.5243-0.0294-0.63040.0112-0.02300.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6结果为:返 回Date44逐 步 回 归逐步回归的命令是：stepwise（x，y，inmodel，alpha）运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot， Stepwise Table，Stepwise History.在Stepw
