《2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第二课时最值范围证明问题课时作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节第二课时最值范围证明问题课时作业（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第八节第八节 第二课时第二课时 最值、范围、证明问题最值、范围、证明问题课时作业A 组基础对点练1已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为y2 a2x2 b21.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：yx2h(hR)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值解析：(1)由题意，得Error!从而Error!因此，所求的椭圆C1的方程为x21.y2 4(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y|xt2t.直线MN的方程为：y2t
2、xt2h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2(2txt2h)240，即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3.x1x2 2tt2h 21t2设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4.t1 2由题意，得x3x4，即t2(1h)t10.由式中的2(1h)240，得h1，或h3.当h3 时，h2b0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，x2 a2y2 b232直线AF的斜率为，O为坐标原点2 33(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的
3、面积最大时，求l的方程解析：(1)设F(c,0)，由条件知， ，得c.2 c2 333又 ，所以a2，b2a2c21.c a32故E的方程为y21.x2 4(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2 代入y21 得x2 4(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2 时，x1,2.3 48k 2 4k234k21从而|PQ|x1x2|.k214k21 4k234k21又点O到直线PQ的距离d，2k21所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.1 24 4k234k21设t，则t0，4k23SOPQ.4t t244t4t因为t 4，当且仅
4、当t2，即k时等号成立，且满足0，4 t72所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2 或yx2.72723.如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆|AP| |AD|DQ| |DC|3E：1(ab0)上x2 a2y2 b2(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解析：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，y1 2x12 4y x22 x12y 2xy1 4从而有，整理
5、得y21，即为椭圆E的方程4y 2xx2 yx2 4(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0，1 2 4x2 0从而梯形ORMN的面积S (2x0)y0，1 21 4 4x2 02x02令t2x0，则 20，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，ub0)的离心率为，且椭圆C上的点到一y2 a2x2 b263个焦点的距离的最小值为.32(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：Error!解得：a，c，b21，32故椭圆C的方程为x2
6、1.y2 3(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2 代入x21，y2 3得(3k2)x24kx10，12k212，4x0，y0kx02，x1x2 22k 3k26 3k2|AB| ，1k212k2123k22 3k413k2Error!解得：k413，即k或k.413413B 组能力提升练1(2018武汉市模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，直线x4 与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且|QF| |PQ|.5 4(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点
7、，与圆x2(y1)21 相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求ABM与CDM的面积之积的最小值解析：(1)由已知得F(0， )，P(4,0)，Q(4， )，|QF| ，|PQ| ，p 28 p8 pp 28 p因为|QF| |PQ|，所以 ，5 48 pp 25 48 p解得p2 或p2(舍去)，所以抛物线的方程为x24y.(2)设l：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得Error!消去y，得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.由y，得y .x2 4x 2所以直线MA：y(xx1)，即yx.x2 1 4x1 2
8、x1 2x2 1 4同理可求得直线MD：yx.x2 2x2 2 4联立方程，得Error!解得M(2k，1)5所以点M到l的距离d2.2k221k21k2所以SABMSCDM |AB|CD|d21 4 (|AF|1)(|DF|1)d2y1y2d21 41 4 d21k21，当且仅当k0 时取等号1 4x2 1x2 2 16所以当k0 时，ABM与CDM面积之积的最小值为 1.2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)3(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析：
9、(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)x2 a2y2 b2由已知得：a，c2，又a2b2c2，得b21，3双曲线C的方程为y21.x2 3(2)联立Error!整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，Error!可得m23k21 且k2 ，1 3设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1x2，x0，6km 13k2x1x2 23km 13k2y0kx0m.m 13k2由题意，ABMN，kAB (k0，m0)m 13k21 3km 13k21 k整理得 3k24m1，将代入，得m24m0，m4.又 3k24m10(k0)，即m .
10、1 4m的取值范围是(4，)(1 4，0)3已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于x2 a2y2 b2336第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.b2 44 33(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范2围解析：(1)由已知，有 ，c2 a21 3又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c,0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有()2( )2( )2，kck21c 2b 2解得k.33(2)由(1)得椭圆方
11、程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消x2 3c2y2 2c233去y，整理得 3x22cx5c20，解得xc，或xc.5 3因为点M在第一象限，可得M的坐标为(c，c)2 33由|FM| ，cc22 33c024 33解得c1，所以椭圆的方程为1.x2 3y2 2(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立Error!消去y，整理得y x12x23t2(x1)26，又由已知，得t ，62x2 3x122解得 0，于是m ，得m(，)2 x22 3232 33当x(1,0)时，有yt(x1)0.因此m1)，设A为圆C与x轴负半轴
12、的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于另一点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B为圆心，线段BC的长为半径的圆与直线MN的位置关系，并证明你的结论解析：(1)设M(x，y)，x0，由题意可知，A(1r,0)，记AM的中点为D，则D(0， )，y 2因为C(1,0)，(1， )，(x， )DCy 2DMy 2在C中，易知CDDM，所以0，DCDM所以x0，即y24x(x0)，y2 4所以点M的轨迹E的方程为y24x(x0)(2)B与直线MN相切证明如下：设直线MN的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线BN的方程为yk(x)y2.y2 2 4联立，得Error!消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24.r1x1，则点A(x1,0)，所以直线AM的方程为yx.2 y1y1 28联立，得Error!消去x，得ky24y4y2ky0，2 2由0，可得k，2 y2所以直线BN的方程为yx.2 y2y2 2联立，得Error!解得xB1，yB2m，y2 14 2y1y2 1y1y2 2y1y1y1y2 2y14my1 2y1所以点B(1,2m)，|BC|，点B到直线MN的距离44m2d|BC|，|22m2|m214m24所以B与直线MN相切
