解析函数零点的孤立性及唯一性定理

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1、第四章 解析函数的幂级数表示 法 第一节 复级数的基本性质 第二节 幂级数 第三节 解析函数的泰勒(Taylor)展式 第四节 零点的孤立性与唯一性原理第一节 复级数的基本性质 复数项级数 定义4.1 对于复数项的无穷级数命 （部分和）。若则称复数项级数收敛于 否则称级数发散。 定理4.1 设 ，则复数级（4.1）收敛于 实数及分别收敛于的充要条件为例 求证级数在时收敛于，而当时发散。证明：1）用极限定义易证，当时，因而由极限的性质得到因此按定义4.1得2） 当时，显然有，因而故级数发散。3）当时，显然有因此级数也发散。4） 当，而时，设，则因为，所以它对任何固定的都无极限由此可见，复数当时无

2、极限，亦即无极限，因此级数发散。例4.1 考察级数 的敛散性。解 因 发散，收敛，我们仍断定原级数发散。故虽例 讨论级数的敛散性解：而收敛，级数同时收敛或同时发散。当时，级数收敛。当时，由知，发散定理4.2 柯西收敛原理（复数项级数）级数收敛必要与充分条件是：任给可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时定理4.3 复级数（4.1）收敛的一个充分条件为级数 收敛定义 4.2 若级数 收敛， 则原级数称为绝对收敛； 非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。（）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积

3、级数。 定理4.4例 判断下列级数的敛散性分析：考查正项级数的敛散性。解（1），则由正项级数的比值判别法知道，原级数绝对收敛。（2） 因故原级数发散练习：证明级数收敛，但不绝对收敛2. 一致收敛的复函数项级数定义4.3 设复变函数项级数在点集上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于 ， 则称为级数（4.2）的和函数，记为定义4.4 对于级数（4.2），如果对任意给定的 ，存在正整数 当 时，对一切的 均有则称级数（4.2）在上一致收敛于与定理4.2类似地我们有定理4.5 级数在上一致收敛的充要条件是：，当使时，对任一及均有定义4.4在点集合E上不一致收敛于某个对任何整整数总有某

4、个使定理4.5在点集E上不一致收敛某个对任何正整数N，整数总有某个及某个正整数，有定理 （优级数准则）若存在正数列而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。 使对一切,有例 求级数的和函数分析：求部分和；分别就取极限解：所以例 证明级数时一致收敛当当时发散。证明：1）当时，由于，而正项级数收敛，故由优级数准则知所给级数在时绝对且一致收敛。2）当时，所以绝对收敛。又由于故发散，从而所给级数在时发散。3）当 时，所以收敛。发散。后者是因为从而所给级数在时发散。级数在闭圆上一致收敛。因有收敛的优级数思考题： 证明在内不一致收敛。定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线在E

5、上一致收敛于f(z)，那么f(z)在E上连续。定理4.7 设在简单曲线C上fn(n)(n=1,2,)或序列fn(n)在C上一致收敛于f(z)或或连续，并且级数。设在集E上fn(z)(n=1,2,)连续，并且级数，那么注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数 与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上的区域D内解析，如果级数序列fn(n)在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或 ，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或 。定理4.

6、8 级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件是：对任意正数 ，只要级数（4.2）在闭圆上一致收敛。定理4.9 设函数 在区域 内解析,级数在内中闭一致收敛于函数，则在内解析,，且在内成立证明：，取，使得。在内任作一条简单闭曲线，根据定理柯西定理推得因而由莫勒拉定理知 在内 解析,再由 的任意性即得 在 内解析 。在 上一致收敛于 其次，设的边界,由已知条件得在上一致收敛于，从而,根据定理4.7，我们有即于是定理结论成立. 例 证明级数在内闭一致收敛。证明 当时，而正项级数收敛，即原级数有收敛的优级数，故由优级数准则，原级数在较小同心闭圆上绝对且一致收敛。由定理4.8原级数在内内闭一致收敛。定义

7、 形如 的级数称为幂级数,其中 是复变量, 是复常数.特别地,当，级数就变为2幂级数幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究 解析函数的工具,而且在实际计算中也很重要。定理4.10: (阿贝尔第一定理)如果幂级数 (4.3) 在 z1 ( z0 ) 收敛, 则它在圆K： |z- z0| |z1 - z0| 内绝对收敛且内闭一致收敛.证明 设z是所述圆K内的任意点，因为因此存在着有限常数M,使得这样一来，即有收敛，它的各项必然有界注意有，故级数为收敛的等比级数，因而在圆K内收敛其次，对K内任一闭圆上的一切点来说，有故在上有收敛的优级数因而它在上绝对且一致收敛。再由定理4.8，此级数在圆

8、K内绝对球内闭一致收敛。定理4.12: 如果下列条件之一成立（1）( 达朗贝尔法则 )（2）( 柯西法则 )（3）(柯西-阿达马公式)则 当 0 l + 时, 幂级数 (4.3) 的收敛半径为当 l = 0 时, R = +; 当 l = + 时, R = 0. 注意： 由数学分析知识即知 ，对幂级数（4.3）有（2）若存在，则存在，且等于。又从存在显然包含存在，且等于，反之则不然，即存在，未必存在。因此，由上极限而得到收敛半径的结论最强例4.2 试求下列各幂级数的收敛半径 解（2）（1）（3）（4）解 因 （2）故解 因故 （3）解 当是平方数时，（4）其他情形，因此相应有于是数列的聚点是0

9、和1，从而幂级数 (4.3) 的和是在收敛圆盘内有定义的一个函数, 称之为和函数.可以证明幂级数和函数的解析性. 定理 4.13: 设幂级数 (4.3) 的收敛半径为 R, 则在 |z- z0| R内, 它内闭一致收敛, 它的和函数（4.5）解析, 并且 可逐项求导.证明:事实上,对 ,则在 上由定理的收敛半径为1知级数在上绝对收敛，从而根据判别法知 在一致收敛，故在中内闭一致收敛,在的和函数解析，且成立，由的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.如例2 级数由于在收敛圆 上,此级数一般不趋于0 ,因而在 上级数处处发散,但其和函数却除 处处解析. 例3 级数的收敛半径

10、为1在收敛圆上，而级数收敛,故此级数在收敛圆上也处处收敛.例 证明在内解析，并求证明 因为所给幂级数的收敛半径，故由定理4.13（1）、（2），在内解析，且在内其收敛半径仍为例 求幂级数的收敛半径、收敛圆及和函数解：1）因为，所以收敛半径收敛圆为2） 因为于是，以此为公式就有3. 泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？）由4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理4.14（泰

11、勒定理）设 在区 域内解析，只要圆含于，则在内能展成幂级数其中证 证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知 的公式Dk分析：代入(1)得Dkz-(*)得证！证明 (不讲)(不讲)证明 (不讲)结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:由此我们就可推出:推论幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即定理 4.15: 函数 f(z) 在区域D内 解析 它在 z0 的某一邻域内有幂级数展式 (4.8) . 定义4.6: f(z) 在 U 内幂级数展式 (4.8) 称为 f(z

12、) 在z = z0 或在 U 内的泰勒展式, n 为泰勒系数, (4.8) 右边级数为泰勒级数 . 注解1、在定理4.14中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画。注解3、泰勒展式中的系数与z0有关。定理4.16 如果幂级数的收敛半径2 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 ，且则在收敛圆周上至少有一奇点。即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。 其 中A 例如的收敛半径为1在圆周上级数收敛的，所以原级数在圆周是处处绝对收敛的，从而在闭圆绝对且一致收敛。当z沿实轴从单位圆内趋于1时，趋于，所以是的有一个奇点。关于幂级数的

13、四则运算幂级数在它的收敛圆内绝对收敛。因此两个幂级数在收敛半径较小的那个圆域内，不但可以作加法、减法还可以作乘法。至于除法，我们将通过乘法及待定系数法莱解决。由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。-直接法-间接法 代公式 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：二 求泰勒展式的方法1求Taylor系数如求在z=0的展开式2.利用级数的运算 如如在展开3逐项微分法如：4.逐项积分法如求在的展开式。（主支） （其中取K=0分支，即分支）又一般地，5级数代入级数法如总结：掌握一些主要的泰勒展示，并能作为

14、公式来用第四节 零点的孤立性与唯一性原理 定义4.7 设 在解析区域 一点 的值为零，则称 为解析函数 的零点 称为的级零点，若注意：定义4.7中，1）a为解析函数f(z)的零点f(z)在点a解析，且2）a为解析函数f(z)的m阶零点（m1）整数f(z)在点a解析，但。这是多项式重根概念的推广。定理4.17 不恒为零的解析函 以 为 级零点的充要条件为：其中在点的的邻域内解析，且 证 必要性 由假设，只要令即可。充分性是明显的。例4.15 考察函数在原点 的性质。为的三级零点解：显然在解析，且由所有例 指出函数的零点的级。分析 如用定义4.7，由于要求高阶导数，计算较繁，故直接用泰勒展示于定理

15、4.17，就简单多了。解：其中在z平面C上解析，且，所以为的6级零点定理4.18 如在 内的解析函数 不恒为零， 为其零点，则必有 的一个邻域，使得 在其中无异于 的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。） 推论4.19 设（1）函数在邻域内解析；（2）在K内有的一列零点收敛于，则在K内必恒为零。定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内又有一个收敛于的点列，在其上和则 和在内恒等。相等。证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然设z0是点列zk在D内有极限点。由于F(z)在z0连续，可见唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。 在一般情形下，可用下述所谓圆链法来证明。可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z)设是D内任意固定的点（如图）。在D内可以作一折线L连接 及以表L与D的边界间的最短距离在L上依次取一串点使相邻两点间的距离小于定数。显然，由推论4.19，在圆内。在圆又重复应用推论4.19，即知在内。这样继续下去，直到最后一个含有的圆为止，在该圆内，特别说来，。因为是D内任意的点，故证明了在D内推论4.21 设在区域D内解析的函数在D内 的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等。推理4.22 一切在实轴上