第八章灰色线性规划

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1、174第八章灰色线性规划线性规划是目前研究多变量系统应用很广的一种决策方法， 在社会经济学科中应用尤为普遍。但是，由于社会经济系统以及 自然生态环境系统中存在着很多不确定的、模糊的因素，其现象 往往是灰色的，因此利用线性规划进行分析和处理问题时可能会 出现错误。而灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值 是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划，正好弥补了常 规线性规划的不足，在渔业科学中也得到了初步的应用。在本章 中我们将主要介绍灰色线性规划模型以及灰色线性规划在渔业科 学中的应用。第一节 灰色线性规划模型一、线性规划模型标准形式线性规划是运筹学的一个重要分支，是目前研究多变量系统 应

2、用很广且简便易行的一种数学模型，也是确定型决策最常用的 方法。它主要解决的问题是如何最大限度地发挥有限资源（包括 人力资源）的作用，取得的最大经济、社会效益，为合理利用人 力、物力和财力找出有效途径。线性规划研究的问题主要有两类： 一是一个目标或任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物 力和财力去完成这一目标；二是在一定的条件下，即有一定数量 的人力、物力和财力，如何通过合理的安排和使用，使得完成的 任务最多，最大的效益最大化。这实际上是一个问题的两个方面， 也就是解决系统整体的最优问题。因此，线性规划常被用作调整175各行业产业结构的主要数学方法。 线性规划是求解线性关系问题。所谓线性关系

3、就是比例关系， 如生产量和资源投入量之间、成本与利润之间等的关系，一般均 呈线性或接近线性关系。构成线性规划问题通常需要具备以下条 件： （1）确定问题的决策变量。这是指决策人可以控制的因素， 它们的值决定模型的解。 （2）要有明确的目标。要求问题的目标能用数值来表示， 即把有关问题转化为公式，并确定决策人用来评价问题不同答案 的准则，即目标函数。 （3）要达到的目的是在一定的约束条件下实现的，同时存 在着达到目标的多种可行方案。 （4）弄清有限资源的限制数量，各生产部门的投入产出 关系和产出收益之间关系，以确定合理的决策变量系数。 （5）约束条件和目标函数都必须是线性关系。约束条件反 映系统

4、环境的限制，目标函数反映决策者的目的。 因此一般线性规划模型包括五个部分：（1）决策变量 Xj（j=1，2，n） ；（2）约束条件或资源限制 bi（i=1，2，n） ；（3）技术系数 aij；（4）效益系数 cj；（5）目标函数 Z。 线性规划数学模型为： 目标函数 max 或 min Z=c1x1+c2x2+cnxn 满足于约束条件：11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa2211 x1，x2，xn0176其缩写形式为：目标函数 max 或 min Z= jjnjxc 1满足约束条件 （i=1，2，m）ijijnjbxa 1xj0 （j=

5、1，2，n） 式中：xj代表一组未知的决策变量，表示各种产品的产出量；aij技术系数，表示生产 j 种产品所需 i 种生产因素的投 入数量；cj效益系数，表示生产单位 j 种产品的收益；bi代表生产要素的限制量。 具有上述结构的线性规划问题，我们称为标准形式。具体的 线性规划模型可能会有很多限制和约束，但是任何线性规划问题 都可以变换成上述标准形式。二、灰色线性规划尽管线性规划在社会经济发展中得到了广泛的应用，但是一 般线性规划存在下述问题： （1）线性规划是静态的，不能反映约束条件随时间变化的 情况，因而所得结果往往因条件改变而失败。 （2）如果规划模型中，出现灰参数（或灰数） ，如约束方程

6、 中的技术系数、约束值等，则一般线性规划难以处理。 （3）由于模型技术或计算技巧问题，在实际计算过程中常 出现无解或无法求解。 由于上述问题的存在，使得一般线性规划的应用受到一定程 度的限制。但是这些问题可以利用灰色系统的思想和建模方法来 解决，结合灰色系统理论的线性规划称为灰色线性规划。177灰色线性规划的形式如下：目标函数： ）或minmax()( CXXf约束条件： X0bXA）（也就是说：在满足 X0 的条件下，寻求bXA）（ 一组 X，使 f（X）达极大值（或极小值） 。 上述关系式中 X 为向量： T nxxxX,21C 为目标函数的系数向量 ncccC,21Ci可以是灰数。为约束

7、条件的系数矩阵，A 为）（A 的白化矩阵，且有：）（A 1112n1= ）（A 1m2mmn 11a12ama1A= 1ma2mamnab 是约束量 T mbbbb,21若对于约束指标 bi，有一组白化序列178 )(,),2(),1()()()()(Nbbbbo io io io i则对作累加生成后得，再以数据，按bo i)(bi)1(bi)1(GM（1，1）建立预测模型，再从预测模型求出预测值。 nKKbi),()0(在作规划计算时，按下述约束条件)()0( 1KbX = ）（A)()0( 2Kb)()0(Kbm则可求出 K 时刻的灰色线性规划值。当 Kn 的条件下取不 同值时，可以得到未

8、来发展的各种线性规划解，也就是各个不同 时期的线性规划解。 灰色线性规划具有如下几个特点： （1）弥补了一般线性规划的不足，常规线性规划是一种确 定的、静态的模型，它要求目标系数中的效益系数、约束条件中 的技术系数、资源量及其它限制量等都被固定下来，事实上社会 经济关系是不确定的、多变的，存在着许多偶然的、风险的因素， 并且各因素之间相互关联、错综复杂，并不一定呈线性关系，所 以求出的解可能与实际不符，甚至无解。灰色线性规划是在技术 系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态 的线性规划，正好弥补了常规线性规划的不足。 （2）不仅可以指导既定条件下的最优构造，而且可以指导 最优结

9、构的发展变化情况，约束条件中的约束值可能是变动的， 有的可用时间序列描述，按 GM（1，1）模型进行预测得到没这179样的线性规划不仅仅只反映一种特定的情况，而是可以反映约束 条件发展变化的情况。这样的线性规划解，不是一个值，而是一 组值，并且是一组时间序列值。这样的解不但可以指导现在条件 下的最优结构，而且可以知道最优结构关系的发展变化情况。 （3）给定一组信息，就可得到一组优化方案。灰色线性规 划中的约束条件系数，是灰区间数，既可按下限规划，又可按上 限规划，还可按区间内的任何一白化值进行规划。在区间内，只 要可以得到一组白化值（信息） ，便可得到一组优化方案，从而 使规划灵活多变，有众多

10、的调整余地，适应情况的发展变化，避 免了常规线性规划使许多具体问题得不到可行解的结论。第二节 灰色线性规划在渔业科学中的应用目前灰色线性规划在渔业科学中的应用主要在海洋渔业结构 特征（包括养殖业、渔船结构等） 、产业结构调整、发展规划等 方面。现结合有关例子进行分析和探讨。一、海洋渔业结构调整研究高清廉、邱天霞、宋协法等于 1999 年第 2 期青岛海洋大 学学报上发表了山东省海洋渔业结构调整研究的文章。文 章运用灰色线性规划运筹学最优化方法来探讨渔船结构调整，以 实现产值的优化，并用非全人工变数单纯形法给出线性规划的目 标函数的极小值和极大值。1，不同级别渔船的努力量配比结构的计算与结果目标

11、确定：文章选取反映经济效益指标利润最大为目标 函数，求解各级别渔船的功率在预测范围内最大经济效益的各级180别渔船的适宜海洋捕捞努力量。 变量设置：选取各级别渔船的捕捞努力量为决策变量。 约束条件：在诸多可供选择的约束变量中，采用总控制和 分级别船只功率控制作为双约束参量指标。 系数的选择：文章采用的效益系数是指目标函数中决策变 量的系数，此处指 104PS 利润。 线性规划模型的建立。2000 年山东省分级别海洋渔船的 线性规划模型为： Ymax = 2497X1+3256X2+2818X3+1540X4+2062X5+109X6+3X7+398 X8X1+ X2+ X3+ X4+ X5+

12、X6+ X7+ X8100 X5+ X6+ X7+ X8400 X110，X2=20-25，X3=5-10，X420 X1、 X2、 X3、 X4、 X5、 X6、 X7、 X80 式中：X1、 X2、 X3、 X4、 X5、 X6、 X7、 X8分别表示为 19PS 以下、 20PS、2159PS、60119PS、120199PS、200399PS、40059 9PS 和 600PS 以上渔船马力。 计算结果：由于规划数值是个概数，故计算结果均取四舍 五入（单位均为 104PS） X1=10，X2=25， X3=5 ，X4=20， X5=10， X6=10， X7=5 ，X8=15 上述优化

13、模型运算结果表明，在总渔获努力量控制在100104PS 条件下的各级渔船结构为：应继续压缩 19PS 以下渔 船，压缩 2159PS 和 120199PS 级别渔船所占比例，稳定 20PS 渔船，发展 60119PS、200399PS 和 600PS 以上级别船只。2，山东省海洋捕捞作业类型渔船数量及努力量配比规划根据对本省渔船作业类型与努力量配置的分析，提出如下调181整意见： (1) 在海洋捕捞总努力量控制小于 100104PS 条件下，考 虑到渔业资源承受力与现有渔业生产力基础，提出 4：3：3 配比 结构格局，即拖网船（含围网）=40%；流刺网船（含钓船）=30%； 定置网船（含其它）

14、=30%。 (2) 各作业类型不同级别船只努力量配置（表 8-3） 渔船总数大约控制在 26680 艘左右，比目前 35417 艘 （1994）在数量上有较大减少，同时渔船努力量与作业渔船类型 的结构有明显改善。表 8-3 山东各类不同级别船只努力量配置表作业类型总功率（104KW）与渔船数（艘）级别441KW 以上184-294KW136-147KW拖围网船功率（104KW） 船数（艘）11 25011 5007.35 500级别44.1KW 以上29.4-44KW15KW流钓渔船功率（104KW） 船数（艘）11 25003.68 12507.35 5000级别15.4-44KW15KW8

15、.8KW定置网船功率（104KW） 船数（艘）3.68 85011 75007.35 8330引自高清廉、邱天霞、宋协法等（1999）3海水养殖业线性规划模型（1）目标确定选择反映经济效益指标纯收入最大为目标函数，求得各 产业的适宜养殖面积。 （2）变量设置182选取养殖面积为决策变量。取鱼类养殖、虾蟹类养殖、藻类 养殖、浅海贝类养殖、滩涂养殖的养殖面积为决策变量 X1、X2、X3、X4、X5。 （3）约束条件限制 选定的约束条件为养殖面积约束。表 8-6 约束量 单位：104亩年份鱼类养殖虾蟹类养殖藻类养殖浅海贝类养殖滩涂贝类养殖浅海养殖滩涂养殖港湾养殖19941.3265.9817.6673.6737.6692.4052.8252.1320002.5754.0138.41129.0189.80149.71163.4254.01引自高清廉、邱天霞、宋协法等（1999）（4）系数的选取 效益系数是指目标函数中各决策变量的系数，本文以 1994 年各年分产业的单位面积纯收入作为参考效益系数。 （5）线性规划模型的建立 2000 年的线性规划模型为： Zmax=1218X1+179X2+1243X3+1341X4+1361X5X1+X2+X3+X4+X5367.14 X1+X2 +X5