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1、常微分方程（中文） 期末总复习题 型v填空题：5x3=15分v选择题：5x3=15分v计算题：7+（1），共55分v证明题：15分第一章一、基本概念和定义偏微分方程，常微分方程，线性方程，非线 性方程，阶例：线线性的，3阶阶非线线性的，2阶阶第二章：一阶微分方程的计 算1.变量可分离方程分离变变量法求解： 当时时，分离变变量可得两边积分，得 其中c是任意常数。（最后的通解中一定要记记得把满满足的解包含进进去）2.齐次方程的解题步骤：1）令，则则，2）代人方程得，变变量可分离方 程用分离变变量法对对上式求解得，3）返回原变量3，可化为变量分离形式的方程1）若，则则方程可化为为齐齐次方程2）若，则
2、令代入方程得变变量可分离方程3）若，则(a) 联立方程求交点得交点 （b）做变量替换，令， 代入方程得齐齐次方程c) 又做变量替换，令代入方程得, 变变量可分离方程d)用分离变量法解上述方程e)返回原变量4，一阶线性微分方程 法一：用常数变易法法二：直接利用公式5，伯努利方程解法：先做变变量替换换，令，再代入原方程得，由公式得， 最后，返回原变量6， 1) 若 ，则上式是恰当方程2) 若 ，则上式不是恰当方程， 但是可以通过对方程两边同时乘以积分因子， 将上式化为恰当方程若 ，则积分因子 若，则积分因子3) 恰当方程解法：首先，验证方程是恰当方程？其次，令 并对 两边边关于求积分，得 （1）再
3、对上式两边关于 求导，由 求得函数。最后，代入（1）得最后的通解 另外，还可用分项组合法（记住P54的公式（2.55）和线积分法第三章:一阶微分方程解的存在定理对方程 ， 其中函数 关于 满足利普希茨条件且在区域 连续1) 过点 解的存在区间： 其中 2) 近似解： 3) 误差估计： 其中 第四章：高阶微分方程1，解的结构1）解的线性叠加原理；齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解齐次微分方程的解2，线性相关、无关：定义，郎希基行列式 若构成行列式的函数列线线性无关，则则 若构成行列式的函数列线性相关，则 基本解组：不唯一； 个线性无关解齐次微
4、分方程的通解基本解组的线性组合非齐次微分方程的通解基本解组的线性组合非齐次微分方程的特解2）常系数齐次线性微分方程的解题步骤：（1）写出特征方程，求出特征根（2）写出基本解组(a) 特征根是实实根、单单根：基本解组组： (b) 特征根是实根、重根： 是重根， 是 重根， 是 重根其中 基本解组： (c) 特征根是实虚根、单根： 基本解组： (d) 特征根是虚根、重根： 是 重根， 是重根， 基本解组： （3）写出通解基本解组的线性组合4，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：法一：常数变易法法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法 ）（1）若方程的非齐次项为 则方程有特解形式： 若 是方程的特征根， 是的重数，若 4，常系数非齐次线性微分方程的解题步骤：法一：常数变易法法二：齐次方程的通解非齐次方程的一个特解（比较系数法 ）（1）若方程的非齐次项为 不是方程的特征根， （2）若方程的非齐次项为 则方程有特解形式： 其中 为待定的次数不高于 的最高次数的多项式若 是方程的特征根， 是的重数，若 不是方程的特征根，
