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1、数学物理方程第4章 调和方程第四章 调和方程1 方程的建立和定解条件 2 格林公式、调和函数及其基本性质 3 格林函数 4 用电象法求解特殊区域的狄氏问题 数学物理方程第4章 调和方程二、 拉普拉斯方程边值问题的提法1 第一边值问题（狄氏问题）2 第二边值问题（牛曼问题）3、狄氏外问题4、牛曼外问题1 方程的建立和定解条件调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。一、方程的建立数学物理方程第4章 调和方程三、泊松方程边值问题泊松方程边界条件定义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边
2、值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题数学物理方程第4章 调和方程1奥高公式设 及 和 是在 上连续，在 内有连续偏导数的任意函数, 则有如下的奥-高公式其中 是 在 点 处的外法向量 2 格林公式、调和函数及其基本性质 一、格林公式数学物理方程第4章 调和方程2格林第一公式在上述的奥-高公式中令 ， ，注意到显然的恒等式：我们就有如下的格林第一公式或数学物理方程第4章 调和方程3 格林第二公式在上述格林第一公式中，交换 的位置，得格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。然后两式消减，我们就得到格林第二公式：原有数学物理方程第4章 调和方程由物理
3、学家狄拉克首先引进用以讨论物理学中的一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义 d 函数是指具有以下性质的函数：4、d 函数数学物理方程第4章 调和方程如对一维问题:设在无穷直线上 区间内有均匀的电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为物理意义：集中的量的密度函数若 f(x) 在 内连续，由中值定理有对于 有数学物理方程第4章 调和方程对于 在 连续，有或者表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。当 时，得到点电荷的密度函数此积分应理解为数学物理方程第4章 调和方程有关d 函数的等式应该在积分意义下理解。数学物理方程第4章 调和方程令两边微商，
4、得因为由傅里叶逆变换，得拉普拉斯变换对二、三维同样有 函数 二维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为三维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为数学物理方程第4章 调和方程求证： ，其中 证明:要证明 ，就是要证明积分意义下例数学物理方程第4章 调和方程 当 时，有三式相加，可得数学物理方程第4章 调和方程 当 时， 不可导，将 V 取为整个三维空间数学物理方程第4章 调和方程令 ，上式积分与 a 无关从而有因此即数学物理方程第4章 调和方程二、 泊松方程的基本积分公式建立点源泊松方程奇异，不能化为面积分。在 V 中 点挖掉半 径 的小球 。小球边界 。数学物理方程第4章 调和方程在 ， 。和
5、连续。数学物理方程第4章 调和方程这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。令f=0,即得调和方程的基本积分公式：调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数 在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。数学物理方程第4章 调和方程1、调和方程的基本解三、调和函数的基本性质2、调和方程的基本积分表达式数学物理方程第4章 调和方程3、 牛曼内问题有解的必要条件4、 平均值公式（定理）5、 极值原理取狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数 外也是唯一确定的。6、 拉普拉斯方程解的唯一性问题调和函数的最大、最小值只能在边界上达到数学物理方程第4章 调和方程 3
6、格林函数若u，v均为调和函数若v不仅为调和函数，且满足由格林公式两式相加令则数学物理方程第4章 调和方程对泊松问题对拉普拉斯问题因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即数学物理方程第4章 调和方程4 用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数，对一 些具体问题可以给出构建格林函数的方法这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法） 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就
7、是所要求的格林函数。电象法求格林函数数学物理方程第4章 调和方程物理模型：若在 处放置一正单位点电荷 则虚设的负单位点电荷应该在 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分布也就是本问题的格林函数，即为 1、 上半平面区域拉普拉斯方程的第一边值问题求解数学物理方程第4章 调和方程据此可求解上半平面区域的定解问题 例1 定解问题： 【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足 处处放置于一个正和一个负负的点电电荷（或点源） 构建格林函数为为数学物理方程第4章 调和方程边界外法线方向为负轴轴，故有 代入到拉普拉斯第一边值问题边值问题 解的公式 ，则则由得或由互易性得到上式称为上半平面的拉普拉
8、斯积分公式数学物理方程第4章 调和方程例2 在上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题边值问题 【解】构建格林函数满满足2 、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为数学物理方程第4章 调和方程为为了把代入拉普拉斯第一边值问题边值问题 的解的公式需要先计算即为为即有 数学物理方程第4章 调和方程代入 即得到 这这公式叫作半空间的拉普拉斯积分数学物理方程第4章 调和方程例3 求解下列定解问题解：数学物理方程第4章 调和方程3、球内的格林函数 M0点处点电荷电量 ，M1点处点电荷电量 数学物理方程第4章 调和方程例4球内第一边值问题在球面上数学物理方程第4章 调和方程
