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1、本征值问题9.1 特殊函数的常微分方程在三维空间使用球座标或柱座标。球极座标边界h柱坐标一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程直角坐标系中的拉普拉斯算子：柱座标 ：球座标（见附录6）二、拉普拉斯方程的分离变量 1. 球座标：分离变量欧拉形方程a.解：b.球方程 再令b1.自然的周期边界条件：b2.l-阶缔合勒让德方程b3.l-阶勒让德方程u 是轴对称的，对的转动不改变 u 。2. 柱座标：分离变量a.hb.c1.c2.c2.1.贝塞耳方程上下底的非齐次边界条件hc2.2.虚宗量贝塞耳方程上下底的齐次边界条件h三、波动方程的分离变量a.令振动方程亥姆霍兹方程四、热传导方程的分离变量a.令亥姆霍兹方程
2、增长或衰变的方程五、亥姆霍兹方程 1. 球座标球贝塞耳方程它是 阶贝塞耳方程 2. 柱座标上下底的齐次边界条件h9.2 常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。对于复变函数：一、定义方程的常点 ： 和 在其邻域解析。否则为奇点。二、常点邻域的级数解定理：方程的常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在 唯一点解析解 满足初始条件 。由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：三、勒让德方程度级数解法化为标准形式：是方程度奇点在 点的邻域：1.级数解带入方程或递推公式系数的两 个序列两个积分常量是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？2. 解的收敛性可以证明，当解 是无穷级数时
3、，不可能在两点同时收敛。如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。由系数的递推关系 可知：当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。这样，得到 阶勒让德多项式。3.自然边界条件解在 保持有限。 确定了勒让德方程的解必须是多项式， 必须是整数。“解在 保持有限” 因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数 为勒让德多项式， 是本征值。9.4 施图姆刘维尔本征值问题一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足 边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫
4、本征函数，求解的问题就叫 本征值问题。一、施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔型方程：化为施图姆刘维尔型方程：即二阶常微分方程度最一般的形式：例1振动方程：A 为一常数。例2勒让德方程和有限。例3埃尔米特方程增长不超过标准形式例：超几何方程：特点： 端点是 的一级零点。自然边界条件决定：二、本征值问题不加证明1. 如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限多个本征值：及无限多本征函数2. 所有本征值证：第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零。第三类齐次边界条件：所以即3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 正交：本征值与本征函数一一对应：证：第一、第二类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：同样：4. 本征函数族完备三、广义傅立叶级数右边叫 的广义傅立叶级数基广义傅立叶系数由正交性 模
