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1、第第 三三 章章向量与向量空间向量与向量空间un维向量及其n维向量空间u向量组的线性相关及其线性无关u向量组的秩研究人造地球卫星在天空运行时的状态，人们不但 希望知道它的几何轨迹，还希望知道它在某时刻t的位置 及表面温度 和压力p。在数学上，我们如何表示卫星的 状态呢？我们已知，卫星在某时刻t的位置可用三元有序数组（ x，y，z）来表示，那么在某时刻t的状态可用六元有序数 组（ t ，x，y，z ， ， p）来表示。由此可知，在许多实际问题中，所研究的对象需要 用多个数构成的有序数组来描述，仅用三元有序数组即 几何向量是不够的。因此有必要把几何向量推广到n维向 量。*第三节 n n维向量及其运
2、算维向量及其运算主要内容主要内容1. n维向量的概念2. n维向量的线性运算n个数a1，a2，an所组成的有序数组a1，a2，an 称为n维向量，记作 行向量列 向 量列向量记作：行向量记作：注 以后没有特别说明，所说向量均指列向量。这n个数称为该向量的n个分量，其中第i个数ai 称为第i个分量.（a1，a2， ,an）或【定义3.7】一、一、n n维向量的概念维向量的概念v两向量相等v零向量v向量 的负向量v实向量：分量为实数的向量；v复向量：分量为复数的向量.除特别指明外，一般只讨论实向量. 加法运算 减法运算 数与向量的乘法与 的和向量与 的差向量注注 两个向量的加、减运算可推广到n个向
3、量，你会吗？与数k的积向量，简称 的数乘向量。u n维向量的加法运算和向量与数的数乘运算统称为向量的 线性运算。二、二、n n维向量的线性运算维向量的线性运算向量线性运算的性质加法数量乘法例例1. 1. 线性方程组的向量方程形式线性方程组的向量方程形式: :设方程组为:令向量根据向量的线性运算有：方程组的向量方程形式方程组的向量方程形式 解解设M（x，y，z）为直线上的点由题意知：M 为有向线段 的定比分点。特别地特别地 *第四节 向量组的线性相关向量组的线性相关主要内容主要内容1.向量组及其线性组合2.线性相关与线性无关3.线性相关的性质4.线性相关的判定1 1、向量组与矩阵的关系、向量组与
4、矩阵的关系若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组向量组。得到一个有m个n维列向量组成的向量组，给定一个nm型矩阵或一个有n个m维行向量组成的向量组.一、向量组及其线性组合一、向量组及其线性组合给出一个由m个n维列向量组成的向量组可构成一个 型矩阵：矩阵的列 向量组由n个m维行向量组成的向量组也可构成一个nm型的矩阵 矩阵的行 向量组即：含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。即：含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应。2 2、线性组合的概念、线性组合的概念【定义3.10】称为向量组A的一个线性组合。设有向量组 若存在一组数存在一组数k1 ，k2，km使 则说向量 的
5、线性组合线性组合，或者说向量 线性表示线性表示.【定义3.10】【注】 10 定义中的一组数k1，k2，km只要存在即 可，不一定唯一20 零向量可由任何向量组线性表示。给出几个向量，如何判断、如何求一个向量能不能由其它向量线性表示？分析：【问题】解：设有一组实数k1，k2，k3使是否存在？如果存在 就表示可以线性表示 ；如果不存在就不能 线性表示。解：解线性方程组得出k17，k25，k303 3、等价向量组、等价向量组例2 单位坐标向量组e1=(1,0,0)T，e2= (0,1,0)T ，e 3= (0,0,1)T和 向量组1= (1,1,1)T ，2= (1,1,0)T ，3= (1,0,
6、0)T是否等价? 解 因为 1 = e1+e2+e3， 2 = e1+e2， 3 = e1.又容易解出 e1= 3， e2= 2 - 3 ， e3= 1 - 2 .可见这两个向量组可以相互线性表示，因此它们是等价 的向量组。设有两个n维向量组如果向量组A中的每一个向量都可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示.如果向量组A和B可以相互线性表示，则称这两个向量组等价.【定义3.11】例3 向量组1=(0,0)T，2= (0,3)T和向量组1= (1,2)T ，2= (1,3)T 是否等价?解 由于1=01+02，2=32-31，所以向量组1, 2可由向量组1，2线性表示.但1的第一
7、个分量是1，而1，2的第一个分量全都是零，所以它们的任何线性组合其第一个分量总是零，于是向量组1，2与向量组1，2不等价.故1不能由1，2线性表示，因此向量组1，2不能由向量组1，2线性表示.关于向量组的等价，显然有下面三条性质：(1) 自反性：向量组A与其本身等价；(2) 对称性：若向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A也等价；(3) 传递性：若向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C等价.4 4、向量组、向量组A A可由向量组可由向量组B B线性表示的矩阵形式线性表示的矩阵形式j=k1j 1+k2j 2 + +ktj t1，A2， , s=（1，2，t）(
8、 )BK=（1，2，t） =（1，2，t）向量组A由向量 组B线性表示的 系数矩阵（*）=（1，2，t）把向量组A 构成的矩阵记作: A=（1，2，s）,把向量组B 构成的矩阵记作: B=（1，2，t）. A组能由B组线性表示，即对每个向量j（j=1,2, ,s） 存在数k1j，k2j ，ktj，使:反之，若存在矩阵Kts使式（*）成立，则向量组A能由 向量组B线性表示.于是 列列向量组A：1，2，s能由列列向量组B： 1， 2 ， ，t线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kt s使 A=BK A=BK ，这里矩阵A，B分别是以向量组A和向量组B为 列构成的矩阵. 【思考】： 若向量组A、B为行向
9、量组，会有什么结果呢？ 对式（*）两边进行转置即得： 行行向量向量组A：1T，2T，sT能由行行向量向量组B： 1T， 2T，tT线性表示的充分必要条件是存在矩阵Kst使 A=KB A=KB ，这里矩阵A，B分别是以行向量组A和行向量组 B为行构成的矩阵.由此可得若矩阵A经初等列变换变成矩阵B(A与B列等价列等价)，则矩阵 A的列向量组与矩阵B的列向量组等价.证明思想 若矩阵A经初等列变换变成矩阵B，则存在可逆 矩阵P，使B= AP 矩阵B的列向量组可由矩 阵A的列向量组线性表示 右乘P-1A= B P-1矩阵A的列向量组可由矩 阵B的列向量组线性表示 矩阵A的列向量组 与矩阵B的列向量 组等
10、价.同理，若矩阵A经初等行变换变成矩阵B(A与B行等价行等价)，则矩 阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价.否则，称这个向量组线性无关，即仅当k1=k2=km=0时,才有设有n维向量组 ，如果存在一组不不 全为零的数全为零的数k1，k2，km使则称向量组 线性相关，注注 所谓向量组 线性相关，是指存在一组 不全为零的数k1，k2，km使成立。在这里存在的这组数k1，k2，km是一组不全 为零的数，而不是全不为零的数。二、线性相关与线性无关的定义二、线性相关与线性无关的定义 【定义3.12】【问题】：给出一个向量组，如何判断线性相关还是无关？证明证明( (解解) )： 设有一组实数k1，k2，k
11、s使若k1，k2，ks不全为零，则线性相关，若只有零解， 则线性无关。例4 试判断下列向量组的线性相关性解使得即 因为其系数行列式于是方程组只有零解，线性无关。所以是否全为零？全为零 时，说明这三个向量 具有什么性质？不全 为零时，又如何？解解 设有一组实数k1，k2，k3使即解方程组得： k1=k2=k3. 若取k1 =1，则存在不全为零的数1，1，1使得故向量组 线性相关。n维向量组 称为单位坐标向量组.解 设有一组数 ，使 例6 讨论n维向量组 线性相关性.证明 设有一组实数k1，k2，km使 线性无关，得线性方程组【例7】 设向量组线性无关,且只有零解，线性无关！注意 用定义证明向量组线性相关性的叙述方法。作业：作业：P P79 79 2 P2 P8989 1;21;2 下节讲下节讲向量的相关性，向量组的向量的相关性，向量组的 秩秩 ，请请预习预习
