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1、3 线线性相关性的判别别定理(1) 线性相关性的几个重要定理 小 结 思 考定理3若一向量组的部分向量组线性相关,则该向 量组也线性相关.注: 这个定理的等价说法是:如果一个向量组线性无 关,则其中任一个部分向量组也必线性无关. 也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关,一向 量组整体线性无关,则其部分组必线性无关.定理4 设p1,p2, ,pn为1，2，n的一个排列，和 为两向量组，其中 即 是对 各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线 性相关性。 证 对任意的常数k1,k2,ks， 推论 含有零向量的向量组必线性相关上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 当且仅当 所
2、以 和 有相同的线性相关性。 (2)如果 线性无关，那么 也线性无关。 定理5 在r维向量组 的各向量添上n-r个分量变成n维向量组 。(1)如果 线性相关，那么 也线性相关。 证 对列向量来证明定理。利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。因此, 也线性相关,即(1)式成立。如果 线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使 用语言叙述为：低维无关，则高维无关；高维相关，低维相关。向量组与矩阵向量组与矩阵线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应系数未知数线性方程组的行向量表示定理下面举例说明定理的应用.证明 （略）解例解例分析结论推论定理6 设A 是一个n阶方阵，则A的行(列)向量组线性相关的充要条件是A的行列式等于零推论 n维向量组 线性无关的充要条件 是矩阵 的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也 线性无关。 定理7 n+1个n维向量组 必线性相关。 推论 当mn时,m个n维向量组线性相关。 或者用书本的表述定理8 如果向量组 可由 线性表出且st，那么 线性相关。 推论1 如果向量组 ，可由向量组 线性表出，且 线性无关，那么 。 推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。
