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1、1.3.2 球的体积和表面积1.通过过球的体积积和表面积积的计计算,了解球的体积积和表面积积公式.2.会利用球的体积积和表面积积公式解决实际实际 中的问题问题 .球的体积和表面积设球的半径为R,则球的体积V=_表面积为S=_4R21.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”，错误的打“”).(1)决定球的大小因素是球的半径.( )(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.( )(3)直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的2倍.( )提示：(1)正确.因为球的体积为 只与球的半径的立方有关.(2)正确.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径.(3)错误.因
2、为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立方，故直径为2的球的体积是直径为1的球的体积的8倍.答案：(1) (2) (3) 2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)半径为2的球的体积为_(2)设M是球O的半径OP的中点，分别过M，O作垂直于OP的平面，截球面得两个圆面，则这两个圆的面积之比为_(3)若一个几何体的三视图是三个直径为4 cm的圆，那么该几何体的表面积为_；体积为_【解析】(1)由答案： (2)如图作球的经过球心的一个圆截面，设球的半径为2R，则OM=R，所以MM=所以两圆面积比为答案：(3)由该几何体的三视图为三个圆，所以该几何体为球，直径为4 cm，所以
3、球的表面积为422=16；体积为答案：16一、球的体积与表面积探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题(1)计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？提示：要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径R.(2)若已知球的体积为V，则球的表面积S如何用V表示？提示：因为V= R3,所以因此(3)若两球的半径之比为R1R2，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？提示：【探究提升】计算球的体积及表面积的两点说明(1)球的体积和表面积都是关于半径R的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可.(2)确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积
4、或表面积也可以求其半径二、球的截面探究1：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？提示：用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面.探究2：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？提示：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面.探究3：若球的半径为R，截面圆半径为r，则球心到截面的距离d是多少？提示：【探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明(1)当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过球心时,截面圆的半径都小于球的半径.(2)球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念.(3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系类型 一 球的体
5、积和表面积的计算尝试解答下面的问题，归纳求球的表面积及体积的策略.1.若球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A.3倍 B.3 倍 C.9倍 D.9 倍2.(2013宁德高一检测)一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积为( )3.三个球的半径之比为123，那么最大的球的体积是另外两个球的体积和的_倍，最大球的表面积是另外两个球的表面积和的_.【解题指南】1.求出半径扩大的倍数，根据表面积公式，得出表面积扩大的倍数.2.根据球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成直角三角形，可求得球的半径，即可求得体积.3.根据球的半径之比，设出球
6、的半径，表示出体积和表面积，从而判断出它们之间的关系.【解析】1.选C.因为体积扩大到原来的27倍，所以r变为3r，所以它的表面积扩大为原来的9倍.2.选C.因为球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成一个直角三角形，所以球半径为 =5(cm)，所以球的体积为3.设三个球的半径分别为r,2r,3r，则所以S1=4r2,S2=4(2r)2=16r2，S3=4(3r)2=36r2，所以答案：3 【技法点拨】求球的体积与表面积的策略(1)要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的
7、相关题目也就易如反掌了.【变式训练】把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm【解析】选D.设大铁球的半径为r，则：解得r=12.类型 二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并总结求解该类问题的技巧.1.(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A.72 B.48 C.30 D.242.一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A.3 B.4 C.3 D.63.(2012天津高考)一个几何体
8、的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.【解题指南】1.根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键.显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体.2.将四面体补成一个正方体，该正方体的体对角线长为球的直径.3.由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【解析】1.选C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个倒立的圆锥组成.2.选A.以四面体侧棱为正方体的面对角线构造正方体，则正方体内接于球，正方体的棱长为1，体对角线长为球的直径.所以2R= ，S球=4R2=3.3.该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体
9、积是：V=2V球+V 长方体=2 ( )3+631=18+9.答案：18+9【互动探究】题3条件不变，求该组合体的表面积.【解析】该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的表面积为S=2S球+S长方体=24( )2+2(63+61+13)=54+18.【技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧(1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图.(2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题.(3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.提醒：解决该
10、类问题，关键是作出截面图形，使相关元素尽可能多地落在截面图形内.类型 三 有关球的切、接问题问题试试着解答下列与球的切、接有关的题题目,总结总结 常见见的几何体与球的切、接问题问题 的解决策略.1.设长设长 方体的长长、宽宽、高分别为别为 2a,a,a,其顶顶点都在一个球面上,该该球的表面积为积为 ( )A.3a2B.6a2C.2a2D.24a22.一个半球内切于圆锥圆锥 ,半球的底面在圆锥圆锥 底面内.求证证：圆锥侧圆锥侧 面积积与半球面面积积之比等于圆锥圆锥 体积积与半球体积积之比.【解题指南】1.长方体的体对角线等于其外接球的直径.2.设出圆锥的底面半径,母线长及球的半径,分别表示出面积
11、和体积,计算其比值判断即可.【解析】1.选B.由长方体的长,宽,高分别为2a,a,a，则长方体的体对角线为 与外接球的直径相等，故2R= a,S球=4R2=6a2.2.设圆锥的底面半径为R，球半径为r,圆锥的母线长为l,则S圆锥侧= 2Rl,S半球=2r2,V圆锥= R2V半球= r3,S圆锥侧S半球= V圆锥V半球= 所以S圆锥侧S半球=V圆锥V半球.【互动探究】若题1中的长方体改为“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长为2a,a,a”，能由本例1的解法得到此三棱锥的外接球的体积吗？【解析】能.由题意，此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的侧棱为棱的长方体的外接球相同，故【技法点拨】常见的几何体与球
12、的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.(2)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.(3)具体解题流程【拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系(1)长方体内接于球： (R为球的半径，a,b,c为长方体的长、宽、高).(2)正方体内接于球：2R= a(R为球的半径，a为正方体的棱长).(3)球内切于正方体：2R=a(R为球的半径，a为正方体的棱长).(4)球与正方体的每条棱都相切：2R= a
13、(R为球的半径，a为正方体的棱长).【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为( )【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 ,外接球半径为 所以半径之比为1 = 3.1.如果两个球的表面积积之比为为49,那么这这两个球的体积积之比为为( )A.827 B.23 C.49 D.29【解析】选A.因为S1S2=49,所以r1r2=23,所以V1V2=827.2.将棱长为长为 2的正方体木块块削成一个体积积最大的球,则这则这 个球的表面积为积为 ( )A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选B.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得
14、球的直径为2,再用表面积公式求出表面积即可.所以表面积是412=4,应选B.3.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_.【解析】设球的半径为R,由 所以R3.答案：34. 已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于_.【解析】由已知可求得球的半径r=2，由2r= a，得正方体的棱长答案：5.将一个铁球投入底面半径为4 cm的圆柱形容器中，球被淹没在水中，水面上升 cm,则这个球的表面积是_.【解析】铁球的体积等于上升的水的体积，设铁球的半径为R,则 所以R=2 cm,故球的表面积为4R2=16(cm2).答案：16 cm26.若正三棱柱内有一个半径为r的内切球,求此棱柱的体积【解析】由题意知三棱柱的高为球的直径2r，如图为过球心和各切点的截面图形，截三棱柱得与底面全等的正三角形，求得底面边长为2 r，底面三角形的高为3r，所以三棱柱的体积为：V=S底h=
