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1、第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率1.理解直线线的倾倾斜角和斜率的概念.2.已知直线线的倾倾斜角(斜率)会求直线线的斜率(倾倾斜角).3.经历经历 几何问题问题 代数化的过过程,了解解析法的基本步骤骤,会求过过已知两点的直线线的斜率.1.直线线的倾倾斜角定 义义当直线线l与x轴轴相交时时,我们们取x轴轴作为为基准,x轴轴_与直线线l_方向之间间所成角叫做直线线l的倾倾斜角图图 示正向向上范 围围00k03.直线的斜率公式已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2).(1)直线P1P2的斜率公式是k=_.(2)当直线线P1P2垂直于x轴轴(即x1=
2、x2)时时,直线线的斜率_.(3)当直线线P1P2平行于x轴轴(即y1=y2)时时,直线线的斜率为为_.不存在01.“判一判”理清知识识的疑惑点(正确的打“”,错误错误 的打“”).(1)任何一条直线线都有斜率.( )(2)斜率相等的两直线倾线倾 斜角相等.( )(3)直线线的倾倾斜角越大,则则直线线的斜率越大.( )(4)与y轴轴垂直的直线线的斜率为为0.( )提示：(1)错误,当直线垂直于x轴时,直线的斜率不存在.(2)正确,两直线斜率相等,则其倾斜角的正切值相等,又倾斜角的范围是0180,故倾斜角也相等.(3)错误,当直线的倾斜角为锐角时,倾斜角越大,则斜率越大且为正值;当直线的倾斜角为
3、钝角时,倾斜角越大,则斜率也越大但为负值.(4)正确,直线与y轴垂直,即与x轴平行,故其斜率为0.答案：(1) (2) (3) (4)2.“练练一练练”尝试尝试 知识识的应应用点(请请把正确的答案写在横线线上).(1)过过点(0,0)和(1,1)的直线线的斜率为为 .(2)若直线线l经过经过 第二、四象限,则则l的倾倾斜角的范围围是 .(3)斜率为为2的直线过线过 点(2,1)和(-2,m),则则m= .【解析】(1)根据斜率公式，答案：1(2)直线l经过第二、四象限，故直线l的倾斜角为钝角，所以倾斜角的范围是90180答案： 90180(3)由斜率公式得 解得m=-7答案：-7 一、直线的倾
4、斜角与斜率探究1：如图，平面直角坐标系中，两直线l,l与x轴交于P点观察图中两直线l,l的位置关系，思考下列问题：(1)直线l,l的倾斜程度有何不同，应如何定义直线的倾斜程度？提示：l相对于x轴的正方向倾斜程度比l大，要确定两直线的倾斜程度，以x轴为参照，可以通过直线向上方向与x轴正向的夹角的大小来刻画直线的倾斜程度，即倾斜角探究提示：从直线 与x轴的夹角的大 小这一角度考虑(2)一点能确定一条直线吗？图中两直线l,l的位置由哪些条件确定？提示：不能，过一点可以作无数条直线一条直线可以由两点或一个定点和这条直线的倾斜角来确定图中直线l由点P与倾斜角确定，直线l由点P与倾斜角确定探究2：根据倾斜
5、角的定义，探究以下问题：(1)任意一条直线是否都有唯一的倾斜角与其对应?提示：是，由倾斜角的定义知，任何一条直线的倾斜程度是固定的，对应的倾斜角也是固定的.故任意一条直线都有唯一的倾斜角与其对应.(2)若一条直线的倾斜角为0，则这条直线一定与x轴平行吗？提示：不一定,也可能与x轴重合.探究3：根据k=tan,思考下列问题问题 ：(1)此斜率公式的适用范围围是_.(2)倾倾斜角相同的直线线斜率相等吗吗?提示：不一定,不是任何直线都有斜率,只有当90时,直线才有斜率,此时倾斜角相同的直线斜率相等.90【探究提升】对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：x轴正向;直线向上的方向;小于18
6、0的非负角.(2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度.(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.【拓展延伸】与特殊的倾斜角对应的斜率倾斜 角0 30 45 60 90 120135150斜率k01不存 在-1二、直线线的斜率公式探究1：在平面直角坐标标系中画出过过点P1(1,2)和P2(2,3)的直线线l,并求出其倾倾斜角与斜率.提示：直线l如图所示：过点P1作P1Q平行于x轴,过点P2作P2Q
7、垂直于x轴交P1Q于Q点,则Q点坐标为(2,2),所以|P1Q|=1,|P2Q|=1,所以P2P1Q=45,即直线l的倾斜角为45,所以直线l的斜率k=tan45=1.探究2：若把探究1中的点P1的坐标标改为为(x1,y1),P2的坐标标改为为(x2,y2),尝试尝试 回答下列问题问题 ：(1)直线线l的斜率是否存在?提示：当x1x2时,斜率存在;当x1=x2,即直线l与x轴垂直时,斜率不存在.(2)若直线l斜率存在，能否根据点P1和点P2的坐标求出直线l的斜率？提示：能.在RtP1P2Q中，tanP2P1Q=即探究3：根据经过经过 两点的直线线的斜率公式,探究以下问题问题 ：(1)此斜率公式
8、的适用范围围是什么?提示：此斜率公式适用的范围是已知两点的横坐标不相等即x1x2,也即直线与x轴不垂直.(2)斜率公式中分子与分母的顺顺序是否可以互换换?y1与y2,x1与x2的顺顺序?提示：斜率公式中分子与分母的顺序不可互换,但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序,即斜率公式也可写为k=(3)过过坐标标原点和另一点P(x,y)(x0)的直线线的斜率公式k=_=_.【探究提升】1.对斜率公式的四点说明(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角=90,直线与x轴垂直.(2)斜率k与P1,P2的顺序无关.(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.(4)当y1=
9、y2时,斜率k=0,直线的倾斜角=0,直线与x轴平行或重合.2.斜率与直线的倾斜程度的对应关系(1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势).(2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势).(3)当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(呈水平状态).类型 一 直线的倾斜角 尝试完成下列题目，体会倾斜角与斜率之间的联系，并掌握求直线倾斜角与斜率的方法及关注点.1.斜率为 的直线的倾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.302.已知等边三角形ABC，若直线AB平行于y轴，则C的平分线所在的直线的倾斜角为_，另两边AC，BC所在的直线的倾斜角为_.【
10、解题指南】1根据tan 及0180求解2.解答本题的关键是画出图形，结合倾斜角的定义求解.【解析】1选B.斜率为 ，因为tan 150=tan(180-30)=-tan 30- ，所以倾斜角为150.2直线AB平行于y轴，则C的平分线所在的直线平行于x轴，倾斜角为0，画简图如下：可知，AC，BC所在的直线均与C的平分线所在的直线成30角，所以它们的倾斜角分别为30，150.答案：0 30,150【技法点拨】求直线倾斜角的方法及关注点【变变式训练训练 】已知直线线l1的倾倾斜角为为1,则则l1关于x轴对轴对 称的直线线l2的倾倾斜角为为2,则则2= .【解题指南】利用直线l1与l2之间的关系,找
11、出两直线倾斜角之间的关系.【解析】如图.由图可知：1=180-2,所以2=180-1.答案：180-1类型 二 直线的斜率公式 通过解答下列题目，注意斜率公式成立的条件，并掌握利用公式求斜率的步骤.1经过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12，则m=_.2求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角(1)(1,1),(2,4). (2)(-3,5),(0,2). (3)(4,4),(4,5).(4)(m,2 m+ ),(2m-1,3 m)，其中mR且m1.【解题指南】1利用斜率公式找到关于m的方程，从而求出m的值2当倾斜角=90时，直线的斜率不存在；当倾斜角90
12、时，直线的斜率【解析】1由斜率公式得： 解得m=-2答案：-22设直线的斜率为k，倾斜角为(1) 所以是锐角.(2) 所以是钝角.(3)因为两点横坐标相同，所以直线斜率不存在且直线垂直于x轴，所以是直角.(4) 此时是锐角【技法点拨】计算斜率的三步骤(1)给直线上两点的坐标赋值x1,x2,y1,y2.(2)计算x2-x1，若x2-x1=0，则判断“斜率不存在”.()若x2-x10，则提醒：根据含有参数的点求直线斜率，注意斜率不存在时情况的讨论.【变式训练】已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值【解析】由题意得直线AC,BC的斜
13、率存在，即m-1,所以因为kAC=3kBC,所以整理得-m-1=(m-5)(m+1)，即(m+1)(m-4)=0，所以m=4或m=-1(舍)，所以m=4.【误区警示】解答本题易出现由条件得不出m-1的情况，从而导致产生增根.类型 三 直线线斜率公式的应应用尝试尝试 解答下列问题问题 ,体会利用斜率公式解答有关问题问题 的过过程,总结总结 利用斜率公式解答有关问题问题 的策略.1.已知点A(-1,2),B(3,0),P(-2,-3),经过经过 点P的直线线l与线线段AB有公共点,则则直线线l的斜率k的取值值范围为围为 .2.已知A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点,证证明这这三点在
14、同一条直线线上.【解题指南】1.利用斜率公式求出直线PA,PB的斜率,根据l与线段AB有公共点,求出l的斜率k的取值范围.2.求出直线AB,BC的斜率,利用斜率相等且有公共点,从而说明A,B,C三点共线.【解析】1如图所示：因为点A(-1,2)，B(3,0),P(-2,-3),所以由图可知kPBkkPA,所以 k5.答案： k52.因为A(-3,-5),B(1,3),C(5,11),所以所以kAB=kBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A,B,C这三点在同一条直线上.【互动探究】若把题1中的点P的坐标改为(2,-1)，试求出直线l的斜率k的取值范围【解析】由图可知：直线PB的斜率kPB= 直
15、线PA的斜率kPA=要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k-1或k1【技法点拨】利用直线斜率公式解题的策略(1)求直线斜率的取值范围,当斜率恒正或恒负时,可直接得出直线斜率的范围;当斜率有正有负时,直线的斜率应取两边.(2)证明三点共线的问题,从三点中任取两点,求其斜率,若斜率存在,且相等,且两条直线有公共点,则三点共线;若斜率不存在,且两条直线有公共点,则三点共线.可利用其中两条线段长之和等于第三条线段的长来证明.1.斜率一定不存在的直线是( )A过原点的直线 B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线 D垂直于过原点的直线 【解析】选B垂直于x轴的直线的斜率不存在垂直于y轴的直线的斜率为02.过点 的直线的斜率是( )A.1 B.-1 C.2 【解析】选A.3.过两点A(4，y
