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1、要点梳理 1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的,可以_的陈述句叫做命题.其中_的语句叫真命题,_的语句叫假命题. 1.2 命题题及其关系、充分条 件与必要条件 判断真假判断为真判断为假基础础知识识 自主学习习2.四种命题及其关系（1）四种命题命题题表述形式原命题题若p，则则q逆命题题_ 否命题题_ 逆否命题题_若q,则p（2）四种命题间的逆否关系 逆命题逆否命题否命题(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_.3.充分条件与必要条件(1)如果p q,则p是q的_,q是p的_;(2)如果p q,q p,则p是q的_.
2、4.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件,又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.相同没有关系充分条件必要条件充要条件基础自测1.下列语句是命题的是 （ ）求证 是无理数；x2+4x+40；你是高一的学生吗？一个正数不是素数就是合数；若xR，则x2+4x+70.A. B. C. D. 解析 不是命题，是祈使句，是疑问句.而 是命题，其中是假命题，如正数 既不是 素数也不是合数，是真命题，x2+4x+4=(x+2)20恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+30恒成立.答案 C 2.命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是 （ ） A.“若xy,则x2y2”C.“若xy，则x2y2”
3、D.“若xy,则x2y2” C3.(2009江西文,1)下列命题是真命题的为（ ） A. B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则 D.若xd,则 “ab”是“a-cb-d”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 cd,-cb,a-c与b-d的大小无法比较；当a-cb-d成立时，假设ab,-cb.综上可知，“ab”是“a-cb-d”的必要不充分条件.B题型一 命题的关系及命题真假的判断【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.（1）面积相等的两个三角形是全等三角形.（2）若qb+d,q:ab且cdB.p:a1,b1
4、,q:f(x)=ax-b(a0,且a1)的图象不过第二象限C.p:x=1，q:x2=xD.p:a1,q:f(x)=logax(a0,且a1)在（0,+）上为增函数 解析 由于ab,cd a+cb+d，而a+cb+d却不一定 推出ab,cd.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a1,b1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时，有a1,b1.故B中p是q的充分不必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件. 答案 A题型三 充要条件的证明 【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0
5、有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.思维启迪 （1）注意讨论讨论 a的不同取值值情况；（2）利用根的判别别式求a的取值值范围围.证明 充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分当a=1时，方程为x2+2x+1=0，其根为x=-1,方程只有一负根. 4分当a0，方程有两个不相等的根，且 这个条件是其充分条件吗？为什么？证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2,则平方和大于3的等价条件是|a| 这个条件是必要条件但不是充分条件. 1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题
6、时，应把其中一个（或n个）作为大前提.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的. 方法与技巧思想方法 感悟提高3.命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别.2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件
7、方向正好相反,不要混淆.失误与防范一、选择题1.（2009重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ）A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数，则它是负数. B定时检测时检测2.（2009浙江理，2）已知a,b是实数，则“a0且 b0”是“a+b0且ab0”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 当a0且b0时，一定有a+b0且ab0.反之，
8、当a+b0且ab0时，一定有a0,b0.故“a0且b0”是“a+b0且ab0”的充要条件. C3.（2008广东文，8）命题“若函数f(x)=logax (a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20,a1)在其定义域内不是减函数B.若loga20,a1)在其定义域内不是减函数C.若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数D.若loga20,a1)在其定义域内是减函数 解析 由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命 题为：若loga20，则函数f（x）=logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数. 答案 A4.已知A=x|x-1|1,xR,B=x|lo
9、g2x1,xR, 则“xA”是“xB”的 （ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 A=x|x2或x0，B=x|x2，xA xB，但xB xA. B5.集合A=x|x|4,xR,B=x|x5”的 （ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 A=x|-4x4,若AB，则a4,a4 a5,但a5a4.故“A B”是“a5”的必要不充分条件. B6.（2009北京文，6） 的 （ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 这说明 外 还可以取其他的值.所以 的充分
10、而不必要条件.A二、填空题 7.若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x 的取值范围是_.解析 x2，5且xx|x4是真命题.由 得1x0, 若 的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解 p：x-2,10，q：x1-m,1+m,m0, 的必要不充分条件，pq且q p.-2，101-m，1+m.11.已知p:|x-3|2，q:(x-m+1)(x-m-1)0，若的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.解 由题意p:-2x-32,1x5. :x5.q:m-1xm+1, :xm+1.又 的充分而不必要条件，12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要 条件.解 （1）a=0适合.（2）a0时，显然方程没有零根.若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则必有 解得0a1.综上知，若方程至少有一个负实根，则a1.反之，若a1,则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a1.返回
