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1、主讲教师：黄小平一、复习引入二、二元函数极值的定义三、二元函数取得极值的条件四、二元函数极值的求法五、本节小结1、复习回顾oabx1x2x3x4x5y=f (x)xy2、问题的提出求最大收益即为求二元函数的最大值。每天的总收益为： 这个函数常称为目标函数。某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分 ，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子 的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖 出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的 果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取 得最大收益？ 问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？二、二元函数极值
2、的定义观察：观察二元函数 的图形二元函数极值的定义定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y):如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点。例1函数处有极小值在xzy0例 函数 处有极大值在处有极大值在xyzO例处无极值在函数xzy0问题：回顾一元函数极值的知识可知，如果函 数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，那么必 有f(x0)=0.如果(x0,y0)为二元函数f(x，y)的极值点， 且在此处导数存在，那么会有什么结果
3、呢？二、多元函数取得极值的条件定理 1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.推广如果三元函数在点有极值的必要条件具有偏导数，则它在， .;是：仿照一元函数，凡使一阶偏导数同时为零的 点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？驻点极值点注意 ： .例如 点是函数的驻点， 但不是极值点定理 2（充分条件） 设函数在点的某邻域内有连续的 二阶偏导数，且 是函数 的驻点.令 （1）时具有极值，且 当时有极大值， 当时有极小值； （2）时没有极值；则：（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论求函数),(yxfz 极值的一般步骤：第一步解
4、方程组 求出实数解，得驻点.第二步 对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步 定出2BAC 的符号，再判定是否是极值.四、二元函数极值的求法例4 求函数f (x，y)x3y33x23y29x 的极值求得驻点为(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2)再求出二阶偏导数fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6在点(1，0)处，ACB 21260，又A0，所以函数的(1，0)处有极小值f(1，0)5；在点(1，2)处，ACB 212(6)0，又A0时驻点才是极值点。 极值点驻点偏导存在3、有可能偏导不存在也是极值点，例如函数 在（0，0）点处有极大值，但函数在（0，0）点偏 导不存在。因此，在求函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑思考：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分 ，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子 的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖 出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的 果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取 得最大收益？ 解：每天的收益： 于是求每天的最大总收益，就是求二元函数 的最大值。则有驻点 .所以当 美分， 美分时，小店可求二元函数 的偏导数，得取得最大收益.(引例的求解)
