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1、普通高中课程标准实验教科书数学 选修4-1几何证明选讲简 介一、内容与要求1复习相似三角形的定义与性质， 了解平行截割定理，证明直角三角 形射影定理。 2证明圆周角定理、圆的切线的判 定定理及性质定理。 3证明相交弦定理、圆内接四边形 的性质定理与判定定理、切割线定 理。4了解平行投影的含义，通过圆柱与平 面的位置关系，体会平行投影；证明 平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情 形是圆）。 5通过观察平面截圆锥面的情境，体会 圆锥曲线的来历，并能证明交线为椭 圆时的一些几何性质（如椭圆的焦点 、准线、离心率e，等等。）二、课时安排及说明1本专题分三讲，共18课时，具体分配如 下（供参考）： 第一讲
2、相似三角形的判定及有关性质约课时 第二讲 直线与圆的位置关系约课时 第三讲 圆锥曲线性质的探讨约课时 学习总结报告 约课时2对内容安排的几点说明 （1）三讲的内容相对独立，每一讲的内容 自成体系，都依托于自身的逻辑起点而展 开。第一讲以“平行线分线段成比例定理”为起 点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相 似三角形的判定定理、性质定理等等，其 中，基本数学思想方法是比例及其性质的 应用； 第二讲以“圆周角定理”和“圆的切线概念” 为起点，采用从特殊到一般的思想方法， 得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜 想及其证明，圆的切线的性质和判定的有 关定理；第三讲以“平行射影”为起点，充分利用图 形直观
3、，对圆锥曲线的性质进行讨论，用 综合几何的方法认识圆锥曲线，这是以往 教材中没有涉及的内容。（2）三讲内容有紧密的逻辑联系。例如，在讨论“与圆有关的比例线段 ”（相交弦定理、割线定理、切割线 定理）时，用到了相似三角形的判定 定理；证明第三讲中的定理1、定理 2(平面与圆柱面的截线、平面与圆锥 面的截线)时，用到了切线长定理 这样就形成了一个系统的知识体系 这个系统中的知识点，由逻辑关系相 互关联而形成紧密的联系。 三、编写中考虑的几个问题1突出数学思想方法的渗透和理解 本专题中的主要数学思想方法包括： 特殊化思想方法、化归思想方法、分 类思想方法、运动变化思想方法，涉 及到观察、实验、猜想等
4、合情推理的 方法，也涉及到演绎推理、反证法、 同一法等逻辑推理的方法 案例1：平行线分线段成比例定理 首先，通过一组实例，采用“操作确认”的 方法，让学生在观察、测量的基础上用合 情推理发现结论，得出猜想。这个过程渗 透了从特殊到一般、化归等方法。 在获得平行线等分线段定理的猜想后，分 如下步骤进行证明：先讨论特殊情形 直线构成平行四边形；再讨论一般情形 将一般情形化归为特殊情形。 在获得“等分”情形下的证明后，再推广到 “非等分”，即“成比例”的情形。而平行线 分线段成比例定理的证明采用“非等分”化 归为“等分”的方法。案例2 弦切角先用运动变化思想，从圆内接四边形运 动到极端情形（有两个顶
5、点重合），由 “圆内接四边形的外角等于它的内对角 ”猜想“弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角”；再用分类思想，把弦切角分为三类（以 弦过圆心为分界点），先证明弦过圆心 时命题成立，再把其他两种情形化归为 弦过圆心时的情形。 2强调知识的发生发展过程，培 养学生的数学探究能力 在融合知识的发生发展过程和学生的认 知过程的基础上，通过展示“过程”，引 导学生领悟定理产生的背景，经历知识 发展的过程，从而提高学生观察问题、 提出问题和解决问题的能力，培养学生 的数学探究能力。案例3：圆内接四边形的性质与判定定理 类比“任意三角形都有外接圆”，提出 “任意四边形是否都有外接圆”的问题 引发思考； 引导
6、学生从正方形、矩形等特殊四边形 出发，考察内接于圆的四边形会有怎样 的共同特征，得出圆内接四边形性质的 猜想和证明； 考察其逆命题是否成立，即证明圆内接 四边形的判定定理。 特点： 知识的发生是在类比“任意三角形都有 外接圆”而提出的，做到了自然而水到 渠成； 从性质到判定，因有较多的条件可用， 易于发现四边形内接于圆时的特征，方 向性好； 性质定理的考察中，运用了从特殊到一 般的思路； 判定定理的证明要同时用到分类讨论和 反证法，教科书采取启发式讲授法，先 讲证明，再归纳总结思想方法； 让学生独立证明判定定理的推论。 3加强推理能力的培养 推理包含逻辑推理与合情推理，措施： 加强几何定理的产
7、生过程，使合情推理的 成分得到有效渗透，在得到几何定理的猜 想中训练合情推理能力； 给出证明几何定理的严格的逻辑推理过程 示范，让学生有学习和模仿的范例； 及时总结和概括推理的思想方法，如分析 法、综合法、反证法、同一法等，以及分 类思想、化归思想、猜想与证明、从特殊 到一般等等。4加强几何直观能力的培养 强调在直观图形背景中的直观思考，给学 生提供观察图形、建立联系、获得几何定 理猜想的基础； 强调运动变化过程中的图形直观，引导学 生观察运动过程中图形的不变性； 在从平面到空间的推广过程中，通过图形 的变异提供图形直观的机会，加强空间想 象能力的培养。 四、对教学的几个建议1把握教学要求，控制教学难度 主要目的是通过证明一些反映圆与直线关 系的重要定理，以及对圆锥曲线性质的探 索，提高学生空间想像能力、几何直观能 力和运用综合几何方法解决问题的能力， 并不是要对几何证明进行全面的复习和提 高，因此，教学中一定要注意控制难度， 不在几何难题上做文章。 2加强“过程性”，使数学思想方法的学 习和数学能力培养落在实处 注意根据教科书安排的学习线索，使学生 有机会经历定理的发现过程和证明过程 ，并要适时地引导学生总结和概括相应 的思想方法。特别要注意在“研究什么 问题”和“如何研究这些问题”上多做 引导。一定要避免为了让学生多做几个 几何证明题而忽视定理的发现过程的做 法。
