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1、稳定性与鲁棒性基础Lecture 3: 鲁棒控制基础倒立摆控制 智能控制倒立摆的控制模型在平衡点 处线性化最终建立起被控量和控制量u之间的关系近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 稳 定建模，控制：忽略某些动态特性线性化模型控制u完全 根据设计实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？Lyapunov稳定性理论三要素处理方法：将系统中不确定性归结为一类对微分方程初始条 件的瞬时扰动，通过标称系统的稳定性，来保证系统在运 行时对这些不确定性引起的响应的稳定性；缺点：与实际工程运行相差较大；(因假设小扰动)设计系统时无法事先定量把握不确定性对系统性能品质的影响系统 扰动 平稳性不确定不确定 性
2、性如：电力系统中如：电力系统中 的切机、切负荷的切机、切负荷 、短路等扰动无、短路等扰动无 能为力能为力一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：参数变化；未建模动态特性；平衡点的变化；传感器噪声；不可预测的干扰输入；所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。内部不确定性外部不确定性鲁棒性(Robustness)鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制 ;鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。如果模型的变化和模型的不精确不影响系统
3、的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题不确定性的描述方法1、可参数化不确定模型用被控对象模型的参数摄动表示不确定性状态空间模型为未知参数向量，i(i=1,2,s)是表示误 差或未知摄动等不确定因素参数。相应线性系统摩擦系数、向量、 转动惯量、电网参 数等测量误差或磨 损老化引起的变化例：汽车运动方程记 ，整理A()和B()结构已知，当=0时，A0，B0给出系统标称模型；将A()和B()分离成标称值和摄动部分之和形式摄动部分尽可能分离注：分离的不唯一性保守性的讨论2、非参数化不确定模型不确定性用未知摄动函数或动态方程表示 I) 静
4、态函数摄动（不改变系统的维数）非线性系统标称系统线性形式摄动函数也线性同样，尽量分离不确定项，以降低鲁棒性设计带来的保守性， 如E,F为已知适维矩阵 为未知矩阵II) 动态摄动（改变系统的维数）非线性系统其中，描述了不确定性的未知状态3、频域模型描述具有不确定性的线性系统传函标称部分标称部分不确定部不确定部 分分线性不确定系统频域模型常用不确定系统模型的类型：系统记为(P0,P) (1) 乘法不确定性P0(s)标称模型，P(s)未知摄动函数 W(s)摄动界函数，或加权函数(一般是稳定传函)(2) 加法不确定性(3) 反馈不确定性加权函数W(s)的作用：实际摄动结构难以获知，使用以上三种不确定性
5、模型简单有效，但P(s)会扩大实际摄动的范围，为降低系统保守性，选择合适加权，使摄动不过分偏离实际加权函数W(s)建模建模原则：1）尽可能减少模型的保守性，使得加权函数所包含的摄动尽可能贴近实际；2）对控制性能影响大的中低频域内应尽量使W(s)不过分超过摄动的增益W(s)设计方法：1）系统辨识法：画出实际系统频率响应P(j)和模型频率响应 P0(j)之差的bode图，选取加权函数覆盖住P(j)-P0(j)2）近似法：用低阶P0(s)近似逼近高阶系统P(s)3）参数摄动法：使用摄动幅度的估值鲁棒稳定性的频域判定条件 反馈控制系统闭环传函通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。 也就是研究1+G
6、(s)H(s)=0 的根，即 D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0 的根的情况定理4.1（Nyquist稳定判据）若系统的开环传函G(s)H(s) 在右半平面有P个极点，且s=0为其v重极点，则闭环系 统稳定的充要条件为：当：-时，开环频率特性 曲线G(j)H(j)包围点(-1, j0)的次数为P+v/2证明思路：主要利用复变函数中幅角原理；重点构造包含P个极点的区域及其边界；当G(s)H(s)含有虚轴上的极点时，构造用半径充分小的半圆绕过该极点。小增益定理：设未知摄动有界且满足 ，则该 系统对于任意 是鲁棒稳定的充要条件为：定理作用：频域描述的不确定反馈是鲁棒稳定的判断条 件小增
7、益定理相当于P=0,v=0时的Nyquist稳定判据定理当稳定的开环系统增益小于1时，闭环系统是稳定的，故 得名小增益定理反馈控制系统，P(s)为被控对象 K(s)为控制器各类不确定性系统的鲁棒稳定性，均转化为一个传函的H范数 不等式鲁棒稳定性指标转化为标称系统的H范数约束条件以反馈类型2为例求得摄动的输出w到输入z的传函由标称系统(P0,K)的稳定性，得M(s)稳定。再由小增益 定理得，该系统鲁棒稳定的充要条件鲁棒稳定性的时域判定条件讨论系统定理4.4 对上述系统，存在正定矩阵P，使得二次型函数 V(x)=xTPx成为Lyapunov函数，且沿任意状态轨线成立的充要条件为：存在适当0和正定阵
8、Q0，使得Riccati方程有正定解P，其中为适当常数。当系统具有非线性摄动时定理4.4的结论仍然成立据Riccati方程与H范数关系，定理4.4中Riccati方程有正 定解P的充要条件为A稳定，且H范数约束下鲁棒性能准则鲁棒控制最终目标：使得系统满足所要求的鲁棒性能信号跟踪 干扰抑制 响应性 最优性稳定性是 前提条件对频率响应为Ws(s)的目标信号的跟踪问题设被控对象含加法摄动控制目标：尽量减少跟踪误差，即由w1到e的传函确保鲁棒稳定性：其中注意到在 的范围内可任意取值，使得这样会使得跟踪极为恶化故鲁棒跟踪问题的要满足两个条件同时成立如何设计控制器满足以上条件？ 条件中还含有摄动项？ 第一
9、步：将跟踪性能指标转化为鲁棒稳定性指标第二步：不确定性分离第三步：因 根据小增益定理：闭环鲁棒稳定的条件之一为 其中此条件为充分条件，对应一干扰抑制问题由于采用对 角型结构摄 动，导致保 守性较大另一种设计方法 将摄动分离后的闭环系统，插入稳定最小相位的定标函 数，不影响闭环内稳定通过适当选择定标函数D， 可使得 从而有可能设计出性能更 好的控制系统理论v鲁棒稳定性v鲁棒性能准则H范数约束H控制问题H性能指标下，如何设计反馈控制器？戏说稳定、鲁棒、非脆弱以下摘自邹云教授控制论PPT他是你的男朋友。他是受控对象，你是控制器。基本反熵目标：你 要他一生为你画眉 ；你要他身旁再也 没有其他女孩。干扰
10、 ， 干扰 ， 我扰 ， 大话稳定他的周围近来晃来晃去的都是其他年轻 漂亮女孩子。有的还；虽然他的确也动了点心，但终究还把持 得住，依然很喜欢你。则我们说：他是稳定的。不稳定的男生是不能实际作为男朋友来 对待的这是可持续恋爱的基本性质。大话鲁棒他的地位变了，升迁了，发达了，抑 或变得与以前大不一样的时候，他依 然还是稳定的，亦即：他依然很喜欢你，且对周边年轻漂亮 的女孩子把持的住。则我们说：他是鲁棒稳定的（Robust）。大话非脆弱前面说的都是假定你是坚定的、把感情作为 始终不渝的，他的反应。现在，再来一点更 厉害的：当你变老了、不再漂亮了；或更极端地，当 你自己有点变心、花心、甚至犯了点错误的 时候，他若依然是稳定的。亦即：他依然很喜欢你，且对周边年轻漂亮的女孩 子把持的住。我们说他是非脆弱专情的（好像有点悲情）
