《一一个方程所确定的隐函数及其导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一一个方程所确定的隐函数及其导数（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组的情形第五节隐函数的求导方法 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂本节讨论 :1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件 导数山东
2、农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂两边对 x 求导在的某邻域内则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解 设F(x, y)x2y21, Fx2x, Fy2y, F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.则由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域 内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数 yf(x). 例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯 一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并 求这函数的一阶与二阶导数在x0的值. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例2. 已知方程在点(0,0)某邻域确定一个单值可导隐函数解: 令
3、则求山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定理2 .若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下 :满足 在点满足:某一邻域内可唯一确山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂两边对 x 求偏导同样可得则山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例3. 设解法1 利用隐函数求导再对 x 求导山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例4. 设F( x , y)具有连续偏导数,解
4、 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、方程组所确定的隐函数组及其导数在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能 确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y).例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数 事实上, 能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？ 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂隐函数存在定理3 设),(vuyxF),(vuyxG在点),(0000vuyxP的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且0,),(0000=vuyxF),(0000
5、vuyxG0=且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比式）在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组的单值连续函数 且有偏导数公式 :的某一邻域内可唯一确定一组满足条件山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理证明略. 仅推导偏导 数公式如下 ：(P34-P35)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解:二元线性代数方程组解的公式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂同样可得山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例5. 设解: 方程组两边对 x 求导，并移项得求练习: 求答案:由题设故有山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例6. 设是由方程和所确定的函数 , 求解 分别在各方程两端对 x 求导, 得(99考研)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂作业：p-89 习题9-52, 3 , 6， 7 , 8 , 10(1); (2)
