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1、第二单元 函数及其性质,知识体系,第一节 函数及其表示,基础梳理,1. 函数的概念设集合A是一个非空的 ,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有 的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作 .其中,x叫做 ,自变量取值的范围叫做这个函数的 .自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a).所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA 叫做这个函数的 .,唯一确定,y=f(x),xA,自变量,定义域,数集,值域,2. 构成函数的三要素: 、 .,定义域,对应法则,3. 两个函数的相等当两个函数的 和 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.,定义域,对
2、应法则,4. 常用的函数表示法(1) ; (2) ; (3) .,列表法,图象法,解析法,5. 分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不的 ， 这样的函数通常叫做分段函数.,对应法则,6. 映射的概念设A、B是两个非空的集合,如果按某种对应法则f,对于集合A中的 元素x,在集合B中有 的元素y与x对应,那么就称f是集合A到集合B的映射，记作“ ”,任意一个,一个且仅有一个,f(x),典例分析,题型一 函数的概念,【例1】设函数 (1)求f（-4）；(2)若 =8,求,分析 这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换.解 -40, 0,a1)B. f(x)= ,g(x)
3、= C. f(x)=2x-1(xR),g(x)=2x-1(xZ)D. f(x)= ,g(t)=,解析： A中两函数定义域不同,B中两函数定义域不同,C中定义域不同. 答案： D,分析 第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法.,题型三 求函数解析式 【例3】(1)已知 ,求f(x);(2)已知f( +1)=lg x,求f(x);(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(4)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x,求f(x).,解(1) ,f(x)= -3x(x2或x-2).(2)
4、令 +1=t(t1),则x= ,f(t)=lg ,f(x)=lg (x1).(3)设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,a=2,b=7,f(x)=2x+7.,(4)2f(x)+f( )=3x,把中的x换成 ,得2f( )+f(x)=3x,2-,得3f(x)=6x- ,f(x)=2x- (x0).,学后反思 函数解析式的求法常见有:(1)配凑法.已知fh(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.(2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次
5、函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)=a +bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a、b、c即可.(3)换元法.已知fh(x)=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解.(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f( )等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,举一反三,3. (1)(2009广州模拟)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= 。 (2)(2009潮州模拟)设函数y=f(x)的
6、图象关于直线x=1对称,在x1时,f(x)= -1,则x1时,f(x)= 。,解析：(1)2f(x)-f(-x)=3x+1,2f(-x)-f(x)=-3x+1,由、解得f(x)=x+1.(2)当x1时,有-x+21时,f(x)=f(-x+2)= -1.答案： (1)x+1 (2) -1,题型四 分段函数的应用【例4】(12分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元，出厂单价为60元.该厂为鼓励销售定购,决定当一次订购量超过100个时,每多订一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价降为51元;(2)设一次订购量
7、为x个,零件实际出厂单价为P元,写出P=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本),分析 关键是利用条件建立数学模型,注意本题要用分段函数建模.,解(1)设一次订购量为 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.则 故一次订购550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.3,(2)当0x100时,P=60；当100x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加并整理得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),
8、f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(2 009)=f(6334+5)=f(5)=f(-1)= =1.,答案:1,11. 如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.,解析: 这个函数的定义域为(0,12).当0x4时,S=f(x)= 4x=2x;当4x8时,S=f(x)=8;当8x12时,S=f(x)= 4(12-x)=2(12-x)=24-2x.这个函数的解析式为 2x,x(0,4, f(x)= 8,x(4,8, 24-2x,x(8,12).,
