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1、Welcome! 组长：张佳婧 组员：沈义杰 廖伟博 朱林楔子爱斯基摩人 f1i班图人 f2i英国人 f3i朝鲜人 f4i A10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合 计1.0001.0001.0001.000楔子爱斯基摩 人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩 人023.216.416.8班图人23.209.820.4英国人16.49.8019.6朝鲜人16.820.419.604.34.3 马氏链模型马氏链模型随着人类的进化，为了揭示生命
2、的奥秘，人们越来越注重遗 传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛 的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给 下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的 基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数 学的 马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简 单而又有趣的实例。 马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究 对象的状 态s(t)是不确定的，它可能 取K种 状态 si(i=1,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时， 时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究 对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马 氏链研
3、究的也是一类状态转移问题。例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态： 好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好（ S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si ，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），0pij1例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示 例4.7 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考 虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于 系统之外四种状态，分别 以S1，S2，S3和S4表示 这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中 的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统 外的概率为 0.2；牧草中的含磷以 0.6的概率被牛羊 吃掉而转换到牛羊体内，0
4、.1的概率随牧草枯死腐败 归还土壤；牛羊体中的磷 以0.7的概率因粪便排泄 而还归土壤，又以自 身0.1的比率因屠宰后投放市场 而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来 研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000S4流失系 统统外0.10.200.7S3羊体含 磷00.60.30.1S2牧草含 磷0.200.40.4S1土壤含 磷i时时段状 态态S4S3S2S1i+1时时段状态态状态转态转 移概率相应应的转转移矩阵阵 为为：且Sj+1=SjM马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
5、 （I , j=1,n）（2） （i=1,n）这样的矩阵被称为 随机矩阵。常染色体遗传模型常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成 每种基因型的概率，如 表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果 我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的，（A、 a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA ，Aa，aa。 1000aa010Aa0001AA后 代 基 因 型aa aaAa aaAa AaAA aaAA AaAA AA父体母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅
6、研究一 个较简单的特例 。例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设：令n=0,1,2,。 （i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa 的植物占植物总数的百分比 。令x (n)为第n代植物的基因型分 布： 当n=0时表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型 为AA,Aa 和aa。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物 相结合的方案培育植物后代。那么经
7、过若干年后， 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型与AA型 结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2时即类似可推出cn=0 显然有 （ii）第n代的分布与 第n1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。(4.2)(4.3)(4.4)将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得根据假设(I)，可递推得出：对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为其中（注：这里M为转移
8、矩阵的位置） (4.5)由（4.5）式递推，得 (4.6) （4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角 库D，使M=PDP-1 因而有Mn=PDnP-1, n=1,2, 其中这里 ， ， 是矩 阵M的三个特征值。对于 (4.5)式 中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1， =1/2， =0因此所以 通过计过计 算，P-1=P，因此有即所以有当时时，所以从（4.7）式得到即在极限的情况下，培育的植物都 是AA型。 若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合 ，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基 因型
9、的概率如 表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后 代 基 因 型aaaaAaAaAA AA父体母体的基因型并且，其中M的特征值为值为通过计算，可以解出与 、 相对应的两个线性无关的特征 向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3：因此解得：当 时时，所以因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。例4.9 常染体隐性疾病模型 现在世界上已经发现的遗传病有将 近4000种。在一 般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有 关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地 中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中， 家族黑蒙性白痴症则流
10、行在东欧犹太人中间。 患者 经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾 病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者， 并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病 患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么 未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出 现显性特征，不会受到疾病的折磨。 现在，我们考虑在控 制结合的情况下，如 何确定后代中隐性患 者的概率。 （a）假设 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa分别表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为AA，Aa的人占总人数的百分比，记 ，n=1,2,（这里 不考 虑aa型是因为这些人不可能成年并结婚） （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，因此隐性患者必须与正常人结合，其后代的基因型概率由 下表给出： 1/20Aa1/21AA 后 代 基 因 型AAAaAAAA父母的基因型（b）建模 由假设设（iii），从第n1代到第n代基因型分布的变变化取 决于方程所以，其中如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布为为解 将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得计计算 =(4.8)因为为，所以当时时，隐隐性患者逐渐渐消失。 从(4.8)式中可知每代隐性患者 的概率是前一 代隐性患者概 率的1/2。 (4.9)
