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1、椭椭 圆圆 高三备课组一一. .基本知识概要基本知识概要 1 1 椭圆的两种椭圆的两种定义定义： 平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的和等于定的距离的和等于定 长长 的点的轨迹，即点集的点的轨迹，即点集M=P| M=P| |PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a，2a2a|F|F1 1F F2 2|；（；（ 时时 为线段为线段 ， 无轨迹）。其中两定点无轨迹）。其中两定点F F1 1，F F2 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。叫焦点，定点间的距离叫焦距。 一一. .基本知识概要基本知识概要 1 1 椭圆的两种椭圆的两种定义定义： 平面内一动点到一个定
2、点和一定直平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于线的距离的比是小于1 1的正常数的点的的正常数的点的轨迹，即点集轨迹，即点集M=P| M=P| ，0 0e e1 1的常数的常数 。（。（ 为抛物线；为抛物线； 为为双曲线）双曲线） 2 2 标准方程：标准方程： （1 1）焦点在）焦点在x x轴上，中心在原点：轴上，中心在原点：（a ab b0 0）；）；焦点焦点F F1 1（c c，0 0），）， F F2 2（c c，0 0）。）。其中其中 （一个（一个 ） 2 2 标准方程：标准方程： （2 2）焦点在）焦点在y y轴上，中心在原点：轴上，中心在原点：（a ab b0 0）；）；
3、焦点焦点F F1 1（0 0，c c），），F F2 2（0 0，c c）。）。其中其中注意：注意： 在两种标准方程中，总有在两种标准方程中，总有a ab b0 0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；并且椭圆的焦点总在长轴上； 两种标准方程可用一般形式表示：两种标准方程可用一般形式表示：AxAx2 2+By+By2 2=1 =1 （A A0 0，B B0 0，ABAB），当），当A AB B时，椭圆的焦时，椭圆的焦点在点在x x轴上，轴上，A AB B时焦点在时焦点在y y轴上。轴上。3.3.性质：性质： 对于焦点在对于焦点在x x轴上，中心在原点：轴上，中心在原点： （a ab b0 0）有以下性
4、质：）有以下性质： A.A.坐标系下的性质：坐标系下的性质： 范围：范围：|x|a|x|a，|y|b|y|b； 对称性：对称轴方程为对称性：对称轴方程为x=0x=0，y=0y=0，对称中心，对称中心 为为O O（0 0，0 0）；）； A.A.坐标系下的性质：坐标系下的性质： 顶点：顶点：A A1 1（-a-a，0 0），），A A2 2（a a，0 0），），B B1 1（0 0， -b-b），），B B2 2（0 0，b b），长轴），长轴|A|A1 1A A2 2|=2a|=2a，短轴，短轴 |B|B1 1B B2 2|=2b|=2b；（；（ 半长轴长，半长轴长， 半短轴长）；半短轴长）
5、； 准线方程：准线方程： ；或；或 焦半径公式：焦半径公式：P P（x x0 0，y y0 0）为椭圆上任一点。）为椭圆上任一点。 |PF|PF1 1|= =a+ex|= =a+ex0 0，|PF|PF2 2|= =a-ex|= =a-ex0 0； |PF|PF1 1|= =a+ey|= =a+ey0 0，|PF|PF2 2|= =a-ey|= =a-ey0;0;B.B.平面几何性质：平面几何性质： 离心率：离心率： = = （焦距与长轴长之比）（焦距与长轴长之比） ； 越越 大越扁，大越扁， 是圆。是圆。 焦准距焦准距 ；准线间距；准线间距 两个最大角两个最大角 焦点在焦点在y y轴上，中心
6、在原点：轴上，中心在原点： （a ab b0 0）的性质可类似的给出（请课后完成）的性质可类似的给出（请课后完成）。）。 4.4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭重难点：椭圆的定义、标准方程和椭 圆的简单的几何性质。圆的简单的几何性质。5.5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。思维方式：待定系数法与轨迹方程法。6.6.特别注意：椭圆方程中的特别注意：椭圆方程中的a,b,c,ea,b,c,e与坐与坐 标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶 点坐标，与坐标系有关。因此确定椭圆点坐标，与坐标系有关。因此确定椭圆 方程需要三个条件：两个定形条件方程需要三个条件：两个定形条
7、件a,b,a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程。一个定位条件焦点坐标或准线方程。二二. .例题：例题：例例1:(1) 1:(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴已知椭圆的对称轴是坐标轴,O,O为坐标原为坐标原 点，点，F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6，且，且cosOFA=2/3cosOFA=2/3。则椭圆方程为。则椭圆方程为 _。 (2) (2) 设椭圆设椭圆 上的点上的点P P到右准线的距离到右准线的距离 为为1010，那么点，那么点P P到左焦点的距离等于到左焦点的距离等于_。 二二. .例题：例题： (3) (3) 已知已
8、知F F1 1为椭圆的左焦点，为椭圆的左焦点，A A，B B分别为椭圆的分别为椭圆的 右顶点与上顶点，右顶点与上顶点，P P为椭圆上的点，当为椭圆上的点，当PFPF1 1FF1 1A A，POABPOAB（O O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为椭圆中心）时，椭圆的离心率 e=_e=_。（教材。（教材P P 页例页例1 1）。）。(4)(4)已知椭圆已知椭圆 上的点上的点P P到左焦点的距离到左焦点的距离 等于到右焦点的距离的两倍，则等于到右焦点的距离的两倍，则P P的坐标是的坐标是 _。1)1)求离心率一般是先得到求离心率一般是先得到a a，b b，c c的一个的一个 关系式，然后再求关系式，然
9、后再求e e；2)2)由椭圆的一个短轴端点由椭圆的一个短轴端点, ,一个焦点一个焦点, ,中中 心心O O为顶点组成的直角三角形在求解椭为顶点组成的直角三角形在求解椭 圆问题中经常用到；圆问题中经常用到；3)3)结合椭圆的第二定义结合椭圆的第二定义, ,熟练运用焦半径熟练运用焦半径 公式是解决第公式是解决第(3)(3)小题的关键。小题的关键。【思维点拨思维点拨】例例2 2：如图，设：如图，设E E： （ab0ab0）的焦点为）的焦点为 与与 ，且，且 。求证：。求证： 的面积的面积 。（图见教材。（图见教材P119P119页例页例2 2的图）的图）【思维点拨思维点拨】 ：解与解与 有关的有关的
10、问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合 来解决。来解决。例例3 3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与 直线直线x+y=1x+y=1交于交于A A、B B两点，两点，M M为为ABAB的中点，直线的中点，直线 OMOM（O O为原点）的斜率为为原点）的斜率为 ，且，且OAOBOAOB，求椭，求椭 圆的方程。圆的方程。【思维点拨思维点拨】“ “OAOB xOAOB x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0” ”( (其中其中 A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)是我们经常
11、用到的一个结论是我们经常用到的一个结论 . . 例例4:4:已知椭圆的焦点是已知椭圆的焦点是F F1 1（1 1，0 0）,F,F2 2（1 1，0 0 ）,P,P为椭圆上的一点为椭圆上的一点, ,且且|F|F1 1F F2 2| |是是|PF|PF1 1| |和和|PF|PF2 2| |的的 等差中项。（等差中项。（1 1）求椭圆方程；）求椭圆方程； （2 2）若点）若点P P在在 第三象限，且第三象限，且P FP F1 1F F2 2=120=1200 0，求，求tanFtanF1 1PFPF2 2。 【思维点拨思维点拨】解与解与P FP F1 1F F2 2有关的问题（有关的问题（P P
12、为椭为椭 圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结 合合|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a来求解。来求解。 例例5:5:（1 1）已知点）已知点P P的坐标是的坐标是(-1,3)(-1,3)，F F是椭圆是椭圆的右焦点的右焦点, ,点点Q Q在椭圆上移动，当在椭圆上移动，当取最小值时，求点取最小值时，求点Q Q的坐标，并求出其的坐标，并求出其最小值。最小值。 （2 2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x x轴上轴上，离心率为，离心率为 ，已知点，已知点P P 这个椭圆上这个椭圆上的点的最远距离是的点
13、的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点并求椭圆上到点P P的距离是的距离是 的点的坐标。的点的坐标。三、课堂小结三、课堂小结: : 1.1.椭圆定义是解决问题的出发点椭圆定义是解决问题的出发点, ,要明确参数要明确参数 a,b,c,ea,b,c,e的相互关系的相互关系, ,几何意义与一些概念的几何意义与一些概念的 联系联系. .尤其是第二定义尤其是第二定义, ,如果运用恰当如果运用恰当, ,可收到可收到 事半功倍的效果事半功倍的效果( (如关于求焦半径的问题如关于求焦半径的问题). ). 2.2.在椭圆的两种标准方程中，总有在椭圆的两种标准方程中，总有a ab b0
14、 0，并且椭圆的焦点总在长轴上；并且椭圆的焦点总在长轴上； 3.3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思待定系数法和数形结合是最基本的方法与思 想想. .在解题时要熟练运用在解题时要熟练运用. . 四、课外作业：四、课外作业：教材教材P120P120闯关训练闯关训练 宁波废铝回收 宁波废铝回收 qtz19pts 烩菜是招牌主菜，猫耳朵和莜面鱼鱼也很受欢迎，都不可以失传的！这样吧，咱们可以专门为你们的这些个秘诀，还有那些个很讲究的 制作诀窍写一份附约，我另外再出资买了如何？”耿正说：“如此甚好，我们一定会毫无保留地把各种饺子馅儿的配方和所有的制作程 序，还有大杂烩菜、猫耳朵和莜面鱼鱼的制作技巧，全部详详细细地编写好了，待咱们办理交接手续时一起交给你们！说实在的，我们 是几年的好邻居了，大婶儿这些年也为小饭店出了不少力。现在，我们把这个饭店盘给你们，当然很希望你们一家
