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1、第三章 空间向量与立体几何 单元检测一、选择题1(2013佛山高二检测)与向量 a(1 ，3,2)平行的一个向量的坐标是( )A( ，1,1) B(1，3,2) C( ，1) D( ，3，2 )13 1232 2 2【解析】a(1，3,2) 2( ，1) 【答案】C12322在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， ， x y ( )，则()A1E 14A1C1 AE AA1 AB AD Ax1，y Bx1， y Cx ，y1 Dx1，y12 13 12 14【解析】 ( )，AE AA1 A1E AA1 14A1C1 AA1 14AC AA1 14AB AD x 1，y .应选 D. 【答
2、案】D143已知 A(2，4，1)，B(1,5,1) ，C (3，4,1)，D(0,0,0) ，令 a ，b ，CA CB 则 ab 为()A(5，9,2) B(5,9，2) C(5,9，2) D(5 ，9，2)【解析】a ( 1,0， 2)，b ( 4,9,0)，ab(5,9，2)CA CB 【答案】B4(2013洛阳高二检测)棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，下列结论不正确的是A. B. 0 C. 0 D. 0 ()AB C1D1 AB BC AA1 B1D1 AC1 A1C 【解析】如图 ， ， B1D1，故 A、B、C 选项均正确AB C1D1 AB BC AA1
3、【答案】D5已知向量 a、b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则ca 0，且 cb0 是 l 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若 l，则 l 垂直于 内的所有直线，从而有 ca0，cb0.反之由于 a、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立 【答案】B6已知ABC 的三个顶点为 A(3,3,2)，B(4，3,7) ，C (0,5,1)，则 BC 边上的中线长为A2 B3 C4 D5 ( )【解析】设 BC 中点为 D，则 D(2,1,4)， ( 1， 2,2)，AD | | 3，即 B
4、C 边上的中线长为 3. 【答案】BAD 12 22 227(2013岳阳高二检测)若向量 a(1 ， ，2) ，b(2，1,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则 ( )89A2 B2 C2 或 D2 或255 255【解析】cosa，b ，解得 2 或 . 【答案】Cab|a|b| 2 45 2 9 89 2558正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.23 33 23 63【解析】设正方体的棱长为 1，建系如 图则 D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面 ACD1 的法向量为 (1,1,1)
5、 又 (0,0,1)，DB1 BB1 则 cos ， .DB1 BB1 DB1 BB1 |DB1 |BB1 | 131 33故 BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 .【答案】D1 332 639已知 (1,5，2)， (3,1 ，z)，若 ， ( x1，y，3)， 平面AB BC AB BC BP BP ABC，则 等于 ()BP A( ， ，4) B( ， ，3) C ( ， ，4) D( ， ，3)407 157 407 157 337 157 337 157【解析】 ， 352z0， z4， (3,1,4)AB BC AB BC BC 平面 ABC， 0 ， 0， Error!B
6、P BP AB BP BC 解得Error!， ( ， ， 3)【答案】DBP 337 15710在矩形 ABCD 中，AB 3，AD4，PA平面 ABCD，PA ，那么二面角435ABDP 的大小为()A30 B45 C60 D75【解析】如图所示，建立空 间直角坐标系，则 (3,0， )， ( 3,4,0)PB 453 BD 设 n(x，y，z)为平面 PBD 的一个法向量，则Error!Error!即Error!令 x1，则 n(1 ， )34 543又 n1(0,0 ， )为平面 ABCD 的一个法向量， cosn1，n .453 n1n|n1|n| 32所求二面角为 30.【答案】A
7、二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11(2013北京高二检测)若 a(2 x,1,3)，b(1，2y,9) ，且 a 与 b 为共线向量，则x_，y _.【解析】由题意得 ，x ，y . 【答案】 2x1 1 2y 39 16 32 16 3212(2013重庆高二检测)已知点 A(1，2,11) ，B (4,2,3)，C(6，1,4) ，则ABC 的形状是_【解析】 (5,1，7). (2，3,1)， 10370.AC BC AC BC ，ACB90 ，又| | |，ABC 为直角三角形AC BC AC BC 【答案】直角三角形13已知平行六面体 ABCDA 1B
8、1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角都是 60，则对角线 AC1 的长是_【解析】如图所示，设 a， b， c ，abacbc11cos 60 .AA1 AB AD 12又 abc， | | .【答案】AC1 AB BC CC1 AC1 a b c2 3 3212 6614命题：若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；向量 a、b、c 共面，则它们所在的直线也共面；若 a 与 b 共线，则存在惟一的实数 ，使 ba；若 A、B 、C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点， ，则点 MOM 13OA 13OB 13OC 一定在平面 ABC 上
9、，且在 ABC 内部上述命题中的真命题是_【解析】当 b0 时，不正确；a、 b、c 共面于平面 ，则 a，b，c 所在的直线可能异面，但都与 平行，所以 不正确； 不正确因为abb a(a0)；由空间向量基本定理可知 正确 【答案 】三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)如图 1 所示的平行六面体中，求证： .AC AB AD 2AC 图 1【证明】平行六面体的六个面均为平行四边形， ， ， .AC AB AD AB AB AA AD AD AA ( )( )( )2(AC AB AD AB AD AB AA AD A
10、A )AB AD AA 又 ， ，AA CC AD BC .AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2 .AC AB AD AC 16(本小题满分 12 分)如图 2，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，AB5，BC 4，AA 14，点 D 是 AB 的中点图 2(1)求证：ACBC 1；(2)求证：AC 1平面 CDB1.【解】直三棱柱 ABCA 1B1C1 底面三边长AC3，BC4，AB 5，AC，BC，C1C 两两垂直如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1
11、(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D( ，2,0)32(1) ( 3,0,0)， (0，4,4) ，AC BC1 0，AC BC1.AC BC1 (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E，则 E(0,2,2) ( ，0,2)， (3,0,4)，DE 32 AC1 ， .DE 12AC1 DE AC1 DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1.图 317(本小题满分 12 分)如图 3，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形，且SASC2a， SBSD a，点 E 是 SC 上的点，且 SEa(02) 2(1)求证：对任意的 (0,2 ，都有
12、 BDAE；(2)若 SC平面 BED，求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小【解】(1)证明 连结 BD，AC，设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形，得 BDAC.SBSD，O 为 BD 中点，BDSO.又 ACSOO，BD 平面 SAC.又 AE平面 SAC，BDAE.(2)由(1)知 BDSO，同理可证 ACSO，SO平面 ABCD.取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系， 设 SOx，则OA ，OB .4a2 x2 2a2 x2OAOB，AB 2a，(4a2x 2)(2a 2x 2)4a 2，解得 xa.OA a，则 A( a,0,0)，C( a,0,0)，S(0,0，a)3 3 3SC平面 EBD， 是平面 EBD 的法向量SC ( a,0，a)， ( a,0，a)SC 3 SA 3设 SA 与平面 BED 所成角为 ，则 sin ，即 SA 与平面 BED 所成的角为 .|SC SA |SC |SA | | 3a2 a2|3 1a2 3 1a2 12 6图 418(本小题满分 14 分)(2012浙江高考)如图 4，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为2 的菱形，BAD120，且 PA平面 ABCD，PA 2 ，M ，N 分别为 PB，PD 的中3 6点(1)证明：MN 平面 AB
