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1、第三章 空间向量与立体几何 单元检测一、选择题1(2013佛山高二检测)与向量 a(1 ,3,2)平行的一个向量的坐标是( )A( ,1,1) B(1,3,2) C( ,1) D( ,3,2 )13 1232 2 2【解析】a(1,3,2) 2( ,1) 【答案】C12322在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中, , x y ( ),则()A1E 14A1C1 AE AA1 AB AD Ax1,y Bx1, y Cx ,y1 Dx1,y12 13 12 14【解析】 ( ),AE AA1 A1E AA1 14A1C1 AA1 14AC AA1 14AB AD x 1,y .应选 D. 【答
2、案】D143已知 A(2,4,1),B(1,5,1) ,C (3,4,1),D(0,0,0) ,令 a ,b ,CA CB 则 ab 为()A(5,9,2) B(5,9,2) C(5,9,2) D(5 ,9,2)【解析】a ( 1,0, 2),b ( 4,9,0),ab(5,9,2)CA CB 【答案】B4(2013洛阳高二检测)棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,下列结论不正确的是A. B. 0 C. 0 D. 0 ()AB C1D1 AB BC AA1 B1D1 AC1 A1C 【解析】如图 , , B1D1,故 A、B、C 选项均正确AB C1D1 AB BC AA1
3、【答案】D5已知向量 a、b 是平面 内的两个不相等的非零向量,非零向量 c 在直线 l 上,则ca 0,且 cb0 是 l 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若 l,则 l 垂直于 内的所有直线,从而有 ca0,cb0.反之由于 a、b 是否共线没有确定,若共线,则结论不成立;若不共线,则结论成立 【答案】B6已知ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,3,7) ,C (0,5,1),则 BC 边上的中线长为A2 B3 C4 D5 ( )【解析】设 BC 中点为 D,则 D(2,1,4), ( 1, 2,2),AD | | 3,即 B
4、C 边上的中线长为 3. 【答案】BAD 12 22 227(2013岳阳高二检测)若向量 a(1 , ,2) ,b(2,1,2),且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 ( )89A2 B2 C2 或 D2 或255 255【解析】cosa,b ,解得 2 或 . 【答案】Cab|a|b| 2 45 2 9 89 2558正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.23 33 23 63【解析】设正方体的棱长为 1,建系如 图则 D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1)平面 ACD1 的法向量为 (1,1,1)
5、 又 (0,0,1),DB1 BB1 则 cos , .DB1 BB1 DB1 BB1 |DB1 |BB1 | 131 33故 BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 .【答案】D1 332 639已知 (1,5,2), (3,1 ,z),若 , ( x1,y,3), 平面AB BC AB BC BP BP ABC,则 等于 ()BP A( , ,4) B( , ,3) C ( , ,4) D( , ,3)407 157 407 157 337 157 337 157【解析】 , 352z0, z4, (3,1,4)AB BC AB BC BC 平面 ABC, 0 , 0, Error!B
6、P BP AB BP BC 解得Error!, ( , , 3)【答案】DBP 337 15710在矩形 ABCD 中,AB 3,AD4,PA平面 ABCD,PA ,那么二面角435ABDP 的大小为()A30 B45 C60 D75【解析】如图所示,建立空 间直角坐标系,则 (3,0, ), ( 3,4,0)PB 453 BD 设 n(x,y,z)为平面 PBD 的一个法向量,则Error!Error!即Error!令 x1,则 n(1 , )34 543又 n1(0,0 , )为平面 ABCD 的一个法向量, cosn1,n .453 n1n|n1|n| 32所求二面角为 30.【答案】A
7、二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11(2013北京高二检测)若 a(2 x,1,3),b(1,2y,9) ,且 a 与 b 为共线向量,则x_,y _.【解析】由题意得 ,x ,y . 【答案】 2x1 1 2y 39 16 32 16 3212(2013重庆高二检测)已知点 A(1,2,11) ,B (4,2,3),C(6,1,4) ,则ABC 的形状是_【解析】 (5,1,7). (2,3,1), 10370.AC BC AC BC ,ACB90 ,又| | |,ABC 为直角三角形AC BC AC BC 【答案】直角三角形13已知平行六面体 ABCDA 1B
8、1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两两夹角都是 60,则对角线 AC1 的长是_【解析】如图所示,设 a, b, c ,abacbc11cos 60 .AA1 AB AD 12又 abc, | | .【答案】AC1 AB BC CC1 AC1 a b c2 3 3212 6614命题:若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;向量 a、b、c 共面,则它们所在的直线也共面;若 a 与 b 共线,则存在惟一的实数 ,使 ba;若 A、B 、C 三点不共线,O 是平面 ABC 外一点, ,则点 MOM 13OA 13OB 13OC 一定在平面 ABC 上
9、,且在 ABC 内部上述命题中的真命题是_【解析】当 b0 时,不正确;a、 b、c 共面于平面 ,则 a,b,c 所在的直线可能异面,但都与 平行,所以 不正确; 不正确因为abb a(a0);由空间向量基本定理可知 正确 【答案 】三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)如图 1 所示的平行六面体中,求证: .AC AB AD 2AC 图 1【证明】平行六面体的六个面均为平行四边形, , , .AC AB AD AB AB AA AD AD AA ( )( )( )2(AC AB AD AB AD AB AA AD A
10、A )AB AD AA 又 , ,AA CC AD BC .AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2 .AC AB AD AC 16(本小题满分 12 分)如图 2,在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AC3,AB5,BC 4,AA 14,点 D 是 AB 的中点图 2(1)求证:ACBC 1;(2)求证:AC 1平面 CDB1.【解】直三棱柱 ABCA 1B1C1 底面三边长AC3,BC4,AB 5,AC,BC,C1C 两两垂直如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1
11、(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D( ,2,0)32(1) ( 3,0,0), (0,4,4) ,AC BC1 0,AC BC1.AC BC1 (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,则 E(0,2,2) ( ,0,2), (3,0,4),DE 32 AC1 , .DE 12AC1 DE AC1 DE平面 CDB1,AC1平面 CDB1,AC1平面 CDB1.图 317(本小题满分 12 分)如图 3,四棱锥 SABCD 的底面是边长为 2a 的菱形,且SASC2a, SBSD a,点 E 是 SC 上的点,且 SEa(02) 2(1)求证:对任意的 (0,2 ,都有
12、 BDAE;(2)若 SC平面 BED,求直线 SA 与平面 BED 所成角的大小【解】(1)证明 连结 BD,AC,设 BD 与 AC 交于 O.由底面是菱形,得 BDAC.SBSD,O 为 BD 中点,BDSO.又 ACSOO,BD 平面 SAC.又 AE平面 SAC,BDAE.(2)由(1)知 BDSO,同理可证 ACSO,SO平面 ABCD.取 AC 和 BD 的交点 O 为原点建立如图所示的坐标系, 设 SOx,则OA ,OB .4a2 x2 2a2 x2OAOB,AB 2a,(4a2x 2)(2a 2x 2)4a 2,解得 xa.OA a,则 A( a,0,0),C( a,0,0),S(0,0,a)3 3 3SC平面 EBD, 是平面 EBD 的法向量SC ( a,0,a), ( a,0,a)SC 3 SA 3设 SA 与平面 BED 所成角为 ,则 sin ,即 SA 与平面 BED 所成的角为 .|SC SA |SC |SA | | 3a2 a2|3 1a2 3 1a2 12 6图 418(本小题满分 14 分)(2012浙江高考)如图 4,在四棱锥 PABCD 中,底面是边长为2 的菱形,BAD120,且 PA平面 ABCD,PA 2 ,M ,N 分别为 PB,PD 的中3 6点(1)证明:MN 平面 AB