《微分方程在经济学中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程在经济学中的应用（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微分方程在经济学中的应用授课对象:经济学专业、国际贸易专业、财务管理专业授课学时：2学时（90分钟）授课目的: (1)学会解微分方程(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用授课教师: 张丽莉v全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品；v储蓄是国民收入的函数；v生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本， 这两种要素之间相互不能替代；v劳动力按照一个固定不变的比率增长；v不存在技术进步，也不存在资本折旧问题；v生产规模报酬不变。一、多马(Domar, E.D.)经济增长模型多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设:设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y
2、(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：其中 、 均为正的常数，为初期国民收入， . v第一个方程表示储蓄与国民收入成正比（ 称为储蓄率），v第二个方程表示投资与国民收入的变化率成 正比（ 称为加速数），v第三个方程表示储蓄等于投资. v由（1）中前三个方程消去S(t)和I(t)，可得关 于Y(t)的微分方程:可分离变量方程v形如的一阶微分方程，称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到其中C为任意常数.其通解为于是有由初始条件，得. 由此可得:由可知，均为时间的单调增加函数，即它们都是不断增长的. 即 两端积分得到, c是任意的常数.多马模型的结论与
3、意义v从凯恩斯的理论框架开始，但避免了凯恩斯投资率 不会增加资本存量规模的假定（短期分析），从而 变成了长期理论。v该模型产生了一种均衡条件，它意味着经济增长的 不变比率。v模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变 量，一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能 力，政府可以通过调节储蓄水平、刺激资本积累来 实现经济的长期增长。 多马经济增长模型的缺陷v资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力 根本不能替代，这一假定是不现实的。v该模型过于强调储蓄和资本积累的作用，从 而将经济增长推向“唯资本论”的方向。v没有考虑到技术进步在经济发展中的作用。v政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色 彩，而对
4、市场机制的作用有所忽视。二、索洛（Solow, R. M.）经济增长 模型v该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投 资转化率假设为1； v投资的规模收益是常数； v该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假 设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布- 道格拉斯生产函数。 索洛模型假设：v设Y(t)为t时刻的国民收入，K(t)为t时刻的资 本存量，L(t)为t时刻的劳动力，索洛曾提出 如下的经济增长模型：v其中s为储蓄率(s0)， 为劳动力增长率 ， 为 初始劳动力 为K和L的一次齐次函数， 称为生产函数. 由（2）的前两式，可得令 称为资本劳动力比，表示单位劳动力平均占有的资本. v将 代入上式
5、并利用 可得 为了求出方程(3)的解，需给出生产函数 的具体形式. 为此，下面取生产函数 柯布道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数，即设v其中 均为常数. 易知 将其代入（3）得 伯努利（Bernoulli）方程v形如v的方程，称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的)，可以化成一阶线 性方程来求解，其中n为常数.v将方程两端除以 ，得到令有将(5)代入(4),得到这是一阶线性方程，可以求解.求出后再用 代回，即得伯努利方程的解.这是以为未知函数的伯努利方程.v这是关于 的一阶线性方程，其通解为将代入上式，得如果则由上式有令则有v于是有其中设索洛经济
6、增长模型的一些结论与意义v增长必须用人均数据（output per capita）来衡量， 强调技术进步时人均收入增长的源泉。v所有增长最终可以归结到两种途径：资本（物质和 人力）积累和技术进步。v重新假定生产要素（资本与劳动）具有相互替代性 ，使资本产出比由固定不变成为可变。v强调市场机制在经济增长过程中的作用。无论经济 处于什么样的初始状态，市场机制只要是完全的， 就可以选择合适的资本产出比，保证充分就业。索洛模型的缺陷v模型中假定资本与劳动力可以任意替代，以 便生产要素可以充分利用，实现均衡增长， 是不符合实际的。v缺乏政策指导意义。v认为技术进步是经济增长的决定因素，却有 假定技术进步是外生变量，结果使得新古典 模型对一些重要的增长事实无法解释。
