第11章等候线模型

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1、第11章 等候线模型 回想一下上一次称不得不等候的情形： 在超市的收银台等候，在银行等候出纳员， 或者是在快餐店等候服务员。在类似上述需 要排队的情况下，把时间用于等待是令人非 常不快的。然而增加更多的收银员、银行出 纳员或服务生并不总是改变服务水平的最经 济的策略。因此，各行各业需要采取相应的 措施，把等待时间控制在顾客所能容忍的限 度内。 人们已经设计建立了一些模型来帮助管 理者理解等候线的运作，并帮助他们做出更 好的决策。等候线用管理科学的术语来讲也 称队列，与等候线相关的知识体系称为排队 论。20世纪初，丹麦的一个电话工程师A.K. 阿朗开始对打电话时发生的阻塞和等待时间 进行研究。之

2、后，排队论的发展已经日趋复 杂，并广泛的运用到等候线情形中。 等候线模型包括一些数学公式以及可用于确定等 候线运行参数（绩效指标）的关系式。相关的一些运 行参数如下： (1)系统中没有任何个体的概率； (2)等候线中等待个体的平均数； (3)系统中个体的平均数（等候线中个体的平均数加上 接收服务的个体的数目）； (4)一个个体在等候线中所花费的平均时间； (5)一个个体在系统中花费的平均时间（等候时间加上 服务时间）； (6)一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率；管理者具备了以上的信息，才能更好的做出使期 望服务水平与所花费的成本相平衡的决策。11.1等候线系统的结构 为了说明等候线系统

3、的基本特征，我们以 伯格.度姆快餐店的等候线为例。伯格.度姆快 餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品 、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色 食品和甜点可供选择。虽然伯格.度姆快餐店 希望能为每位顾客提供即时的服务，但是很多 时候，到达的顾客远远多于伯格.度姆快餐店 的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不 得不排队，以等候所点快餐并取走所点的食品 。伯格.度姆快餐店担心，它目前所用的顾客 服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经 提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一 个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服 务方式。11.1.1 单列等候线在伯格.度姆快餐店目前所实行的运作方式中，

4、 首先由一名服务生接受一位顾客的点餐，计算总费 用，向顾客收取餐费，然后上菜。为第一位顾客上 菜之后，这名服务生就可以为下一位等待中的顾客 服务。这种运作方式就是一个单列等候线模型的例 子。每位进入伯格.度姆快餐店的顾客都必须通过这 一条渠道（一个接收点餐和上餐的工作台）以进行 点餐、付款，然后取食品。当到达的顾客人数很多 ，以至于工作人员不能及时提供服务时，顾客们就 会形成一条等候队伍，等待这个点餐和上菜的工作 台为其提供服务。有关伯格.度姆快餐店的单列等候 线如图11-1所示。等候线服务生接收点 餐并满 足点餐 要求顾客到达点餐完毕 后顾客离 开系统图 11-1 伯格.度姆的单列等候线11

5、.1.2 达到间隔分布为等候线确定到达过程，主要包括确定 在某个给定时间段内顾客到达数目的概率分 布。对于有些等候线情形来说，顾客的到达 具有随机性和独立性，我们也不能预测新的 顾客会在什么时候到达。在这种情况下，管 理科学家们发现，顾客的到达规律可以用泊 松概率分布来很好地进行描述。泊松概率函数可以计算出在某个 时间段内，有x位顾客到达的概率。该 概率函数如下：式中，x-在此时间段内到达的人数;-每个时间段内到达的平均人数；e=2.718 28 e-的值可以利用计算器或通过书末附录B计 算得出。(11-1)假设伯格.度姆快餐店已经对相关的顾 客到达数据进行了分析，并得知平均每小 时到达的顾客

6、人数为45人。也就是说，平 均1分钟内到达人数为=45名顾客/60分钟 =0.75名顾客/分钟。因此，我们可以利用 下面的泊松概率函数计算1分钟内有x为顾 客到达的概率： 从而，1分钟内有0为、1位和2位顾客到 达的概率分别为：可见见，1分钟钟内没有顾顾客到达的概率为为 0.472 4， 有1位顾客到达的概率为0.354 3 ，有2位顾客到达的概率为0.132 9.表11-1 表示偶尔一分钟内到达的顾客数的概率 。 表 11-1 1分钟内到达伯格.度姆快餐店 的顾客人数概率分布 到达顾顾客数 概率0 0.472 41 0.354 32 0.132 93 0.033 24 0.006 2 5 0

7、.001 0在第11.2节和第11.3节中，我们将要讨 论到等待线模型，其中伯格.度姆快餐店的 顾客到达人数是用泊松分布描述的。在实 际应用中，我们要记录几天或几个星期内 每个时间段的实际到达人数，并将观察到 的到达人数概率分布与泊松概率分布相比 较，以确定由泊松概率分布计算得出的值 是否是实际到达人数分布的合理的近似值 。 11.1.4服务时间分布服务时间是指从服务开始，某位顾客在服务 台所花费的时间。对于伯格.度姆快餐店而言，服 务时间是从顾客开始向服务生点餐开始，并持续 到顾客拿到所点的食品为止。服务时间通常不是 固定的。在伯格.度姆快餐店，每位顾客所点的食 品数目和品种有很大的不同。点

8、餐少的顾客可能 在几秒钟内完成，但点餐多的顾客的可能要花2分 钟甚至更长的时间才能完成。管理科学学家们发现，如果服务时间的概率 分布可以用指数概率分布来表示，那么可以用公 式计算等候线运作所需的有用信息。利用指数概 率分布来计算服务时间小于或等于时间长度t时的 概率如下：其中，-每个时间段内可接受服务的个 体的均值；e=2.718 28。假设伯格.度姆快餐店已经研究了接受 点餐和上菜的过程，并发现每个服务生平均 每小时能为60位顾客提供点餐服务。在此基 础上，可以得出平均服务率为=60名顾客 /60分钟=一名顾客/分钟。例如，当=1时， 我们可以用式（11-3）来计算在0.5分钟内 、1分钟内

9、 以及2分钟内可以处理一个点餐要求的概率 。计算分别如下：因此，我们可以得出结论：0.5分钟内 能处理一个点餐要求的概率为0.393 5，1分 钟内能处理一个点餐要求的概率为0.632 1， 2分钟内能处理一个点餐要求的概率为0.864 7。本章所述的几个等候线模型中，我们假 定服务时间的概率分布服从指数分布。在实 践中，我们应该收集相关的实际服务时间的 数据，以确定由指数分布得出的值是否是实 践中服务时间的合理近似值。 11.1.4 排队原则在描述等候线系统时，我们必须规定等待 中的个体按照什么方式等待服务。就伯格 度姆快餐店的等候线（推广到一般来讲，可 以是所有面向顾客的等候线）来说，我们

10、是 以先到先服务的原则来安排等候服务的顾客 的，这种方式被称做FCFS排队原则。然而， 用些情况要求有不同的排队原则。如，人们 在等候电梯时，最后上电梯的人通常是最先 完成服务过程（即最先离开电梯）的人。还 有一些排队原则则是赋予等候个体优先次序 ，然后为具有最高优先权的顾客最先提供服 务。在本章中，我们只讨论先到先服务的排 队原则为基础的等候线。11.1.5 稳态运行当伯格.度姆快餐店早上开始营业时， 店里没有顾客。渐渐地，营业开始正常或 呈稳定状态。我们将开始或起始阶段成为 过渡（瞬时）阶段。当系统正常或稳态运 行时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模 型描述了等候线的稳态运行参数。11.2

11、到达服从泊松分布、服务时间服从指 数分布的单列等候线模型在本节中，为了确定单列等候线的稳态 运行参数，我们将引进一些相关的公式。如 果顾客到达服从泊松分布，并且服务时间服 从指数分布，则我们就可以应用这些公式。 因为上述假设符合第11.1节中讨论的伯格.度 姆快餐店问题，因此，我们将解释如何应用 这些公式来确定伯格.度姆快餐店的运行参 数，并据此为管理层提供有益的决策信息。11.2.1运行参数我们可以用下述公式来计算到达服从 泊松分布、服务时间服从指数分布的单列 等候线的运行参数，其中，-每个时间段内到达的平均数（平 均到达率）；-每个时间段内服务的平均数（平 均服务率）； 1. 系统中没有任

12、何个体的概率： （11-4）3 系统中个体的平均数：4 一个个体在等候线中所花费的平均时间：5 一个个体在系统中花费的平均时间：2等候线中个体的平均数：(11-5)(11-6)(11-7)(11-8)7 系统中同时有n个个体的概率：(11-10)6 某位刚到达的个体必须等待的概率：(11-9)11.2.2伯格.度姆快餐店问题的运行参数回顾一下，在伯格.度姆快餐店的问题 中，我们已经得到一个平均到达率=0.75 和一个平均服务率=1。我们可以用式（11-10）确定系统中任何数 目顾客的概率。表11-2提供了应用式（11-10 ）得出的概率。 表11-2 伯格.度姆快餐店的等候线系统中有n位顾客的

13、率 顾顾客人数 概率0 0.250 01 0.187 52 0.140 63 0.105 54 0.079 15 0.059 36 0.044 57个或更多 0.133 511.2.3管理者对等候线模型的应用伯格.度姆快餐店的单列等候线的计算结果给出了 一些关于等候线运作的重要信息。特别值得注意的是 ，顾客们在点餐前的平均等待时间为3分钟，这对以快 速服务为宗旨的快餐行业来说，多少有些长了点。此 外，我们还注意到，等待中的顾客平均人数为2.25位 ，且顾客不得不等待的概率为75%，这也要求我们必 须采取措施来改善等候线的运作。通过表11-2，我们 知道，在伯格.度姆快餐店的系统中，同时有7个或

14、7个 以上顾客等待的概率为0.1335.这一数字表明，如果伯 格.度姆快餐店继续使用单列等候线运作方式，则很可 能会出现较长的等待队伍。如果相对于公司的服务标准来讲，伯格.度姆快餐 店的运作参数并不令人满意。因此，快餐店的管理者 应当考虑采取其他设计或计划来改善等候线的运作。11.2.4改进等候线运作等候线模型通常会显示出哪些运作参数需要改 善。然而，要就怎样改变等候线结构来改善运行参 数做出决策，必须依靠分析家的洞察力和创造力。考察了等候线模型所提供的运行参数之后，伯 格.度姆快餐店的管理者认为有必要改善等候线的 运作从而减少顾客的等候时间。为了改善等候线的 运作，分析家们常常侧重于采用提高

15、服务率的方法 。一般来讲，要提高服务率，需要做出下面一两种 改变：(1)通过创造性的设计变更或利用新技术来提 高平均服务率。(2)增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得 到即时服务。假设在考虑方案1时，伯格.度姆快餐店的管理 者决定雇用一名上菜员来帮助收银台旁的点餐员。 从点餐员点餐开始，顾客开始接受服务。点餐后， 点餐员通过一个内部通讯系统报出菜名，然后由上 菜员开始上菜。点餐完毕后，点餐员处理付款事宜 ，上菜员继续上菜。按照这一设计，伯格.度姆快餐 店的管理者预测，平均服务率可以从现在的每小时 60位顾客上升到每小时75位顾客。也就是说，改变 后的系统的平均服务率为=75位顾客/60分钟=1.25 位顾客/分钟。在=0.75位顾客/分钟且=1.25位顾客 /分钟的情况下，我们可以利用式（11-4）式（11- 10）重新计算伯格度姆快餐店的等候线的新的运 行参数。计算得到的运行参数如表11-3 所示。 系统统中没有顾顾客的概率 等候线线中顾顾客的平均人数 系统统中顾顾客的平均人数 一位顾顾客的等候线线中花费费 的平均时间时间分钟钟一位顾顾客在系统统中花费费的 平均时间时间分钟钟一位到达的顾顾客必须须等候 的概率系统统中有7位以上（含