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1、日照实验高中 2007 级数学导学案-导数1.2.3 导数的四则运算法则学习目标：1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数 奎 屯王 新 敞新 疆3.会求一些简单复合函数的导数.学习重点难点：导数的四则运算自主学习：一、知识再现1.导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果)(xfy0时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即0x无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在y )(xfy处的导数，记作 ，即0x0/xyfffx)(lim)(00/2. 导数的几何意义：是曲线 上点（ ）处的切线的)(xfy)(,0
2、xf斜率 奎 屯王 新 敞新 疆 因此，如果 在点 可导，则曲线 在点（)(xfy0y）处的切线方程为 奎 屯王 新 敞新 疆)(,0xf )()(0/xff3. 导函数(导数):如果函数 在开区间 内的每点处都有导xy,ba数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从),(bax)(/xf而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数 在/f )(/xfy开区间内的导函数，简称导数二、新课探究：法则 1 两个函数的和 (或差 )的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 奎 屯王 新 敞新 疆)(vu证明：令 ，)(xxfy)()( vu，vu教师备课学习笔记 ，xvuy xvuxvu
3、yx 0000 limlilimli即 )()( v法则 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 )(uv法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 2(0)uv说明： ， ；)()vu CC两个可导函数的和、差、积、商一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导复合函数的导数 复合函数 的导数和函数 和()yfgx()yfu的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对()ugxxuxy的导数与 对 的导数的乘积若 ，则()yf()()yfgfgx 三、例题解析：例 1 求
4、的导数45322xx解： 奎 屯王 新 敞新 疆6y例 2 求 的导数()解： )23(2(2 xx)()3(4x 981例 3.求 y= 的导数.sin2解：y=( )=xi2 xx222 sinco)(sini例 4.求 y= 在点 x=3 处的导数.32解：y=( )32x22)3()()(xx22)(6)(y| x=3= 奎 屯王 新 敞新 疆14)3(62例 5. 求 y sin 4x cos 4x 的导数解法一：y sin 4x cos 4x (sin2x cos 2x)22sin 2cos2x1 sin22 x1 （1cos 4 x） cos 4 xysin 4 x 31解法二：
5、y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x例 6.函数 处的切线方程是 （ ） 0,cos在 点A B y024yxC D24x课堂巩固：1.函数 y=x2cosx 的导数为（ ） A. y =2xcosxx 2sinx B. y =2xcosx+x2sinxC. y =x2cosx2 xsinx D. y =xcosx x2sinx1.求 y= 的导数312.
6、求 y= 的导数xsin24.求 的导数)13l(2归纳反思：合作探究：求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离.2.设函数 证明： 的导数 ；()exf()fx()2fx日照实验高中 2007 级数学导学案-导数1.3.1 利用导数判断函数的单调性学习目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点难点：利用导数判断函数单调性 奎 屯王 新 敞新 疆 .自主学习一、知识再现：1. 函数的单调性. 对于任意的两个数 x1，x 2I，且当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么函数 f
7、(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1，x 2I，且当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，那么函数 f(x)就是区间I 上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算二、新课探究：1、定义：一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果/y在这个区间内 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 奎 屯王 新 敞新 疆/2、用导数求函数单调区间的步骤：求函数 f(x)的导数 f(x ).令 f(x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令 f(x) 0 解不等式，得 x 的范围，
8、就是递减区间.3、例题解析：例 1 确定函数 f(x)=x22x+4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=( x22x +4)=2 x 2. 令 2x20，解得 x1.当 x(1 ，+ )时，f(x )0，f (x)是增函数.令 2x20，解得 x1.当 x(，1)时，f(x) 0，f (x)是减函数. 例 2 确定函数 f(x)=2x36x 2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f(x)=(2 x36x 2+7)=6x 212x令 6x212x0，解得 x2 或 x0当 x(，0)时，f(x) 0，f (x)是增函数.当 x(2 ，+ )时，f(x )0，
9、f (x)是增函数.令 6x212x0，解得 0x 2.当 x(0 ，2)时，f(x)0，f (x)是减函数. 例 3 证明函数 f(x)= 在(0，+) 上是减函数.1证法一：(用以前学的方法证 )任取两个数 x1，x 2(0 ，+)设 x1x 2.教师备课学习笔记教师备课学习笔记f(x1)f (x2)= x 10，x 20，x 1x202121x 1x 2，x 2x 10， 021f(x 1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2) f(x)= 在(0，+ )上是减函数 .证法二：(用导数方法证)f(x )=( )=(1)x 2 = ，x0，x 20， 0. f( x)0，f (x)=
10、在(0， +) 上是减函2121数.例 4 求函数 y=x2(1x) 3 的单调区间.解：y=x 2(1x) 3=2x(1 x )3+x23(1x) 2(1)=x(1x) 22(1x )3x=x(1x) 2(25x )令 x(1 x)2(2 5x)0，解得 0x . y=x 2(1x) 3 的单调增区间是(0， ) 令 x(1x )2(25x) 0，解得 x0 或 x 且 x1.552 为拐点，y=x 2(1x) 3 的单调减区间是( ，0)，( ，+)1例 5.求 的单调递增区间2()lnfx解：由函数的定义域可知， 即2101x又 222()lnln()l()xfx所以 222211xf
11、令 ，得 或()0xx0综上所述， 的单调递增区间为（0，1）()f 教师备课学习笔记课堂巩固：1.函数 的单调递增区间是（ ）xy142A B C D ),0(),()1,()21,(2.已知函数 ，则它的单调递减区间是( )y3A. B. C. D. 及),(1,),0(),(),(3. 函数 的单调递增区间是ln2xxf_.4.当 时， 在 上是减函数.k23)(kf,0归纳反思：合作探究：1.求函数 的单调区间2()lnfxx2.已知函数 的图象过点 ，且在点32()fxbcxd(0,2)P处的切线方程为 。(1,M67y教师备课学习笔记（1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间
12、。()yfx)(xfy日照实验高中 2007 级数学导学案 -导数1.3.2 利用导数研究函数的极值（第一课时）学习目标：掌握求可导函数的极值的步骤 奎 屯王 新 敞新 疆学习重点难点：掌握求可导函数的极值的步骤 奎 屯王 新 敞新 疆自主学习一、知识回顾：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内/y的增函数；如果在这个区间内 奎 屯王 新 敞新 疆)(4xf1f（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 奎 屯王 新 敞新 疆 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部
13、，也可能在区间的端点 奎 屯王 新 敞新 疆4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则0x)(xf是 的极值点， 是极值，并且如果 在 两侧满足0x)(f)(0f 0“左正右负” ，则 是 的极大值点， 是极大值；如果0x)(0xf教师备课学习笔记教师备课学习笔记在 两侧满足“左负右正” ，则 是 的极小值点，)(xf0 0x)(f是极小值 奎 屯王 新 敞新 疆5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x) 奎 屯王 新 敞新 疆(2)求方程 f(x)=0 的根 奎 屯王 新 敞新 疆(3)用函数的导数为 0 的点
14、，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值 奎 屯王 新 敞新 疆三、例题解析：例 1 求 y= x3 4x+4 的极值 奎 屯王 新 敞新 疆解：y=( x34x +4)=x 2 4=(x+2)(x2) 奎 屯王 新 敞新 疆 令 y=0，解得x1=2，x 2=2 奎 屯王 新 敞新 疆 当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表 奎 屯王 新 敞新 疆,-2 (-2,2) 2 ,y+ 0 0 + 极大值 283 极小值 43当 x=2 时，y 有极大值且 y 极大值 = 奎 屯王 新 敞新 疆 当 x=2 时， y 有极小值且 y 极小值 = 奎 屯王 新 敞新 疆34例 2 求 y=(x21) 3+1 的极值 奎 屯王 新 敞新 疆 解：y=6
