《概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计 5.1 切比雪夫不等式和大数定律（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章、大数定律 和中心极限定理5.1切比雪夫不等式和大数定律5.2中心极限定理15.1切比雪夫不等式 和大数定律1、切比雪夫不等式2、大数定律2定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) 和方差D(X) , 则对于任意正数 , 不等式一 、切比雪夫(Chebyshev)不等式 :(2) 可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率 .3证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=4例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数(单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 .利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在52009400之间的概率 .解
2、设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数, 由题意知 E(X)= 7300, D(X)= 700 2 , 由切比雪夫不等式得5注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际问题的处理中仍然十分有用 .6二、大数定律一、基本概念:a 是一个常数 , 若对于任意正数 , 有设 Y1 ,Y2 , , Yn , 是一个随机变量序列, 1、定义5.1:则称序列 Y1 ,Y2 , , Yn , 依概率收敛于 a , 72、依概率收敛的性质:函数 g( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续 , 则 8二、常见的三个大数定理:1.定理1（伯努利大数定理）设 为n重
3、伯努利实验中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则对任意的0，有9伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式先给定的精度 的可能性愈来愈小, 小到可以表示出来, 它表明随着 n 的增大, 事件 A发生忽略不计, 这就是说频率是依概率收敛到该事件发生的概率 .10伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论率难求 , 可以通过这个定律用事件的频率代替依据. 在处理实际问题的时候, 如果事件的概概率 . 例如, 估计某产品的不合格率 p , 可从该种产品中随机抽取 n 件 , 当 n 很大时, 这 n 件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p 的估计值 .11具有相同的数学期望和方差:2、定理5.2
4、(切比雪夫定理的特殊情况):设随机变量 X1 ,X2 , , Xn , 相互独立 , 且作前n个随机变量的算术平均则对于任意正数 , 有12证 由于由切比雪夫不等式, 得由概率性质知1314定理5.2表明, 当 n 很大时, 随机变量 X1 ,X2 , , Xn 当然这种接近是在概率意义下的接近 . 有定理5.2作保证, 当变量数学期望未知的时候, 可以选择一些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量, 用它们的算术平均数作为数学期望的估计值, 选取的随机变量个数越多, 估计程度就越好, 这在实际问题的处理中是十分有用的 .15同一分布, 具有数学期望3、定理5.3(辛钦定理):设随机变量 X1 ,X2 , , Xn , 相互独立 , 服从则对于任意正数 , 有16X1 ,X2 , , Xn 相互独立, 服从同一分布且具有数伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量学期望 , 则前 n 个随机变量的算术平均值依概率收敛于它们的数学期望 .17
